Неравенства вида
В общем случае в неравенствах данного
вида логарифмы приводят к одному
числовому основанию
,
переходя к равносильному неравенству
.
Пример 4. (МИОО, январь 2010). Решить неравенство
.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству:
.
Используя замену
,
где
,
получим
.
Отсюда получаем
или
.
Выполнив обратную замену, имеем
.
Решая неравенство
,
получаем значения
.
Неравенство
имеет решения
.
Следовательно, решением исходного
неравенства является множество
.
Ответ.
.
Пример 5. Решить неравенство
.
Решение. Используя тождество
,
выполняя равносильные преобразования,
преобразуем исходное неравенство:
,
.
Используя замену
,
где
,
получаем неравенство
.
Отсюда имеем
.
Выполняя обратную замену, имеем
.
Пусть
.
Тогда решая систему
получим с учетом
,
что значения
.
Выполним обратную замену
Ответ.
.
Приведем другой способ решения неравенств рассматриваемого вида.
Для этого исследуем функцию
,
где переменная
и число
.
Так как
,
то при
функция
возрастает на каждом из промежутков
и
,
при
функция
убывает на каждом из промежутков
и
.
Отметим, что при
функция
при
и
при
,
при
функция
при
и
при
.
Из этих рассуждений следует, что строгое неравенство
равносильно совокупности двух систем:
(I)
(II)
Для нестрого неравенства
в представленной выше совокупности
неравенства
и
заменяются на нестрогие и совокупность
содержит еще следующую систему
(III)
Пример 6. Решить неравенство
.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем
(I)
и (II)
Система (I) имеет решения
.
Система (II) не имеет
решений.
Ответ:
.
Использование формул
Наибольшее число ошибок при решении задания С3 в ЕГЭ 2010 и 2011 возникло в результате неправильного использования формул:
(4)
и
, (5)
где
,
и
.
Заметим, что равенства (4) и (5) в общем
случае не являются тождествами, поскольку
области определения левой и правой
частей равенства могут не совпадать.
Так в левой части равенств (4) и (5) выражение
будет определено при таких значениях
,
когда и
и
.
Правая часть при таких значениях
не имеет смысла.
Формулы (4) и (5) используются как для преобразования логарифма произведения (частного) в сумму (разность) логарифмов соответственно, так и в обратную сторону.
В общем случае переход слева направо
может привести к потере решений. Если
даны выражения
или
и есть желание преобразовать их в сумму
или разность логарифмов, равносильный
переход выглядит так
и
.
В общем случае переход справа налево может привести к приобретению посторонних решений. Однако эти посторонние решения могут быть исключены, как не входящие в область определения переменной исходного выражения.
Пример 7 (ЕГЭ-2011). Решить неравенство
.
Решение (предложенное в критериях).
1-й способ. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями
Для таких получаем
.
Исходное неравенство примет вид
.
Так как
,
то при
имеем:
.
Откуда значения
.
Учитывая область определения исходного
неравенства
,
получим в ответе множество
.
Решение. 2-й способ. Область определения данного неравенства – есть множество . Для таких исходное неравенство приводится к виду:
.
Учитывая, что значения
,
получим ответ
.
Ответ: .
Комментарий. Большинство выпускников использовало 2-й способ. При этом массово забывали о необходимости использования модулей.
Иногда в логарифмических неравенствах присутствуют логарифмы с разными основаниями. В этом случае часто для последующего решения привести их к одному основанию, используя формулу перехода к другому основанию:
, (6)
где
.
Пример 8. (ЕГЭ 2010). Решить неравенство
.
Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:
Отсюда получаем значения
.
Так как при допустимых значениях переменной по свойствам логарифма справедливы равенства:
и
,
то исходное неравенство приводится к виду
.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве
:
(I)
и (II)
Для системы неравенств (I) имеем:
.
Для системы неравенств (II) имеем:
.
С учетом области определения данного неравенства получаем ответ.
Ответ:
.