1. Кинематика манипуляторов

1.1. Манипулятор как система твердых тел

Как уже говорилось во введении, манипулятор представляет собой совокупность твердых тел. Каждое следующее тело движется относительно предыдущего. Перенумеруем тела числами от 0 до n. Телом с номером 0 будет стойка, а телом с номером n – схват. С каждым телом свяжем свою систему координат (рис. 1.1).

Рассмотрим движение i-го тела относительно (i – 1)-го (рис. 1.2). Будем считать, что i-е тело вместе с привязанной к нему системой координат P_ix_iy_iz_i произвольно движется относительно (i – 1)-го тела, а (i – 1)-е тело вместе с привязанной к нему системой координат P_i–1x_i–1y_i–1z_i–1 не движутся.

Поскольку система P_ix_iy_iz_i связана с i-м телом, то координаты каждой точки тела i известны в i-й системе и неизвестны в (i – 1)-й системе.

Выведем формулу, по которой можно будет вычислять координаты любой точки в (i – 1)-й системе, имея координаты этой точки в i-й системе.

С помощью такой формулы можно будет вычислить координаты всех точек i-го тела в (i – 1)-й системе и благодаря этому получить полную информацию о движении i-го тела относительно (i – 1)-й системы координат.

Возьмем произвольную точку i-го тела и обозначим ее через А. Мысленно уберем (i–1)-е и i-е тела. Получаем картину, изображенную на рис. 1.3.

Считаем, что x_i^A, y_i^A, z_i^A известны.

Для облегчения нашей задачи введем еще одну систему координат P_ixyz, начало которой всегда будет совпадать с началом системы P_ix_iy_iz_i, а оси этой системы во время движения всегда будут параллельны осям системы P_i–1x_i–1y_i–1z_i–1 (рис. 1.4).

Мы видим, что система P_ix_iy_iz_i вращается около системы P_ixyz, имея с ней одну общую точку P_i, а система P_ixyz движется поступательно относительно системы P_i–1x_i–1y_i–1z_i–1. Наша задача определения координат (x_i-1^A, y_i–1^A, z_i–1^A) по координатам (x_i^A, y_i^A, z_i^A) разбивается на две подзадачи:

1. Имея координаты (x_i^A, y_i^A, z_i^A), вычислить координаты (x^A, y^A, z^A) в системе P_ixyz. Решение этой подзадачи дается в п. 1.2.

2. Имея координаты (x^A, y^A, z^A), вычислить координаты (x_i–1^A, y_i–1^A, z_i–1^A) в системе P_i–1x_i–1y_i–1z_i–1. Решение этой подзадачи дается в п. 1.3.