3. Анализ линейных цепей гармонического тока в установившемся режиме

3.1. Общие сведения

Гармонические сигналы формируются генератором гармонических колебаний. В теории электрических цепей для записи гармонических сигналов чаще используется тригонометрическая функция косинус, то есть:

, (3.1)

где − амплитуда сигнала;

( ) − полная фаза сигнала, в рад;

− начальная фаза сигнала, в рад;

− циклическая частота, в рад/с;

− текущая частота, в Гц;

− период колебаний.

Для оценки мощности переменных сигналов введены действующие значения напряжения и тока, например, для напряжения:

. (3.2)

В действующих значениях калибруется большинство измерительных приборов, измеряющих токи или напряжения переменных сигналов.

3.2. Анализ цепей гармонического тока методом векторных треугольников

+ e(t)

C

Рис. 3.2

Эквивалентная схема, приведенная на рисунке 3.2, содержит три разнотипных идеальных элемента электрических цепей и источник гармонического сигнала (напряжения). Так как законы и теоремы теории цепей справедливы для мгновенных значений любых сигналов (см. раздел 1), то в соответствии со вторым законом Кирхгофа

,

или, используя выражения (1.1), (1.3), (1.5), получаем:

. (3.3)

Пусть через идеализированный элемент протекает ток с известной частотой и амплитудой

. (3.4)

Тогда, используя выражение (3.3), получаем:

, (3.5)

или после тригонометрических преобразований

(3.6)

Окончательно получаем:

. (3.7)

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

− анализ линейных цепей гармонического тока можно проводить, используя обычные тригонометрические преобразования, однако такой вариант является трудоемким;

− идеализированные элементы на гармоническом токе ведут себя по-разному. Элемент не инерционный, не вносит дополнительного сдвига фазы. Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг (аргумент) . Элемент инерционный, модуль его сопротивления , фазовый сдвиг .

Инерционность реактивных элементов в данном случае означает следующее: для индуктивности временная диаграмма напряжения опережает временную диаграмму тока на , а для емкости − отстает на (ток опережает напряжение).

Учет полного сопротивления идеализированных элементов (модуля и аргумента) позволяет проводить расчеты последовательных и параллельных цепей методом векторных треугольников. В этом методе напряжениям и токам на элементах эквивалентной схемы придают смысл векторов, длины которых равны амплитудам сигналов, а углы наклонов – начальным фазовым сдвигам. С помощью законов Кирхгофа качественно (без соблюдения масштаба) строятся векторные треугольники напряжений и подобные им треугольники сопротивлений для последовательных цепей или схем и треугольники токов и проводимостей для параллельных цепей или схем. Для последовательных схем построение векторных диаграмм начинается с вектора тока, для параллельных – с вектора напряжения. По известным параметрам источников энергии, величинам элементов определяют неизвестные величины.

На рисунке 3.3 а, б приведены векторные треугольники напряжений и сопротивлений для схемы (рис. 3.2).

а) б)

Рисунок 3.3

Если параметры источника напряжения и значения элементов известны, то есть , то из треугольника сопротивлений определяется модуль полного сопротивления и сдвиг фазы в цепи:

,

.

Затем по закону Ома определяются амплитуды тока в цепи и напряжений на элементах:

, , , .