Лабораторная работа № 13 логические элементы

Цель работы: Знакомство с логическими функциями, методами их формирования, минимизации и реализации, характеристиками импульсных сигналов и логических элементов.

1. Теоретические сведения

Достаточно сложные по своим функциональным возможностям цифровые (логические) схемы основаны на принципе многократного использования относительно простых (базовых) схем, связи между которыми строятся на основе чисто формальных методов. Инструментом такого построения служит алгебра логики (булева алгебра).

1.1. Правила и теоремы алгебры логики. Логические функции

В отличие от переменных в обычной алгебре, логические переменные могут принимать только два значения, которые называются логической единицей (1) и логическим нулем (0) или «истиной» (1) и «ложью» (0). Существуют три основные операции с логическими переменными:

• Конъюнкция (логическое умножение, операция И): y = x₁x₂ = x₁  x₂.

• Дизъюнкция (логическое сложение, операция ИЛИ): y = x₁ + x₂ = x₁  x₂.

• Инверсия (логическое отрицание, операция НЕ): .

Применительно к этим логическим операциям существуют следующие правила, законы и теоремы:

Операции с логическим нулем и единицей:
x1 = x, x0 = 0, ,	x + 1 = 1, x + 0 = x, .	(1)
Коммутативный закон:
,	.	(2)
Ассоциативный закон:
,	.	(3)
Дистрибутивный закон:
,	.	(4)
Правило склеивания:
,	.	(5)
Правило повторения:
,	.	(6)
Правило отрицания:
,	.	(7)
Правило двойного отрицания:
.		(8)
Теорема де Моргана:
,	.	(9)

Пользуясь соотношениями (1), можно вычислить результаты логических операций для всех возможных значений x₁ и x₂, представив их в виде таблиц, которые называются таблицами истинности:

Конъюнкция: y = x1x2				Дизъюнкция: y = x1 + x2				Инверсия:
x1	x2	y		x1	x2	y		x	y
0	0	0		0	0	0		0	1
0	1	0		0	1	1		1	0
1	0	0		1	0	1
1	1	1		1	1	1

Введем понятие логической функции, определив ее как набор логических переменных, взятых в прямой или инверсной форме и объединенных логическими операциями. Приведем пример логической функции четырех переменных и составим для нее таблицу истинности:

.

x3	x2	x1	x0	f		x3	x2	x1	x0	f
0	0	0	0	0		1	0	0	0	1
0	0	0	1	0		1	0	0	1	0
0	0	1	0	1		1	0	1	0	1
0	0	1	1	1		1	0	1	1	1
0	1	0	0	0		1	1	0	0	1
0	1	0	1	1		1	1	0	1	1
0	1	1	0	1		1	1	1	0	1
0	1	1	1	1		1	1	1	1	1

Обычно в цифровой электронике задача формулируется в виде таблицы истинности, поэтому для реализации конкретного устройства необходимо по таблице истинности построить логическую функцию. Полученная логическая функция упрощается и затем реализуется с помощью базовых логических схем (логических элементов) – электронных устройств, реализующих основные логические операции или простейшие функции.

Для определения правил построения логических функций по таблицам истинности введем несколько определений. Запись логической функции в виде суммы произведений логических переменных называют дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Для приведенной выше логической функции ДНФ имеет вид:

.

Запись логической функции в виде произведения сумм логических переменных называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ). КНФ приведенной выше логической функции имеет вид:

.

Минтермом называют произведение всех логических переменных данной логической функции, взятых в прямой или инверсной форме. Обычно минтермы обозначаются буквой m с номером, соответствующим двоичному коду, который получается при замене переменных в прямой форме на 1, а переменных в инверсной форме – на 0. Например для функции f четырех переменных (номер 0000₂ = 0), (номер 1001₂ = 5) и так далее.

Аналогично макстермом называют сумму всех логических переменных данной логической функции, взятых в прямой или инверсной форме. Обычно макстермы обозначаются буквой M с номером, соответствующим двоичному коду, который получается при замене переменных в прямой форме на 0, а переменных в инверсной форме – на 1. Например для функции f четырех переменных (номер 0000₂ = 0), (номер 0111₂ = 7) и так далее. Очевидно, что количество как минтермов, так и макстермов для функции N переменных составляет по 2^N штук.

Запись логической функции в виде суммы ее минтермов называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Соответственно, запись логической функции в виде произведения макстермов называют совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Именно в виде СДНФ или СКНФ проще всего записать вид логической функции, если известна ее таблица истинности. Для того, чтобы выписать СДНФ логической функции по таблице истинности, необходимо взять сумму минтермов, для которых значения функции равны 1; причем при отборе минтермов необходимо выписывать логическую переменную в прямой форме, если ее значение равно 1, и в инверсной форме, если ее значение равно 0.

Для получения СКНФ логической функции по таблице истинности необходимо взять произведение тех макстермов, для которых значения функции равны 0; причем при отборе макстермов необходимо выписывать логическую переменную в прямой форме, если ее значение равно 0, и в инверсной форме, если ее значение равно 1. Рассмотрим пример:

x2	x1	x0	f	mi	Mi
0	0	0	0		
0	0	1	1	
0	1	0	1	
0	1	1	0		
1	0	0	0		
1	0	1	0		
1	1	0	1	
1	1	1	1	

СДНФ: .

СКНФ: .

Помимо операций И, ИЛИ и НЕ, существует еще несколько базовых логических операций, встречающихся наиболее часто и имеющих собственные названия:

• Штрих Шефера (операция И-НЕ): .

• Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ): .

• Неравнозначность (исключающее ИЛИ): .

• Равнозначность (исключающее ИЛИ-НЕ): .