9. Теорема умова - пойнтінга

Крім рівнянь Максвела, велике значення в теорії електромагнітного поля має теорема Умова-Пойнтінга. Вона описує енергетичні співвідношення в електромагнітному полі і має дві форми запису: перша - для миттєвих значень, друга - комплексна форма - для синусоїдальних величин.

Теорема Умова-Пойнтінга виражає закон збереження енергії в електромагнітному полі. Вона зв'язує зміну енергії в будь якому об’ємі з потоком її через поверхню, що обмежує цей об’єм. Енергія електромагнітного поля в об’ємі дорівнює:

і безперервно міняється в часі.

Зміна (збільшення) енергії в означеному об’ємі

Запишемо рівняння Максвела для середи з :

З цих рівнянь знайдемо

Тоді зміна енергії електромагнітного поля може бути виражена наступним чином:

З векторного аналізу відомо, що

Отже,

Позначимо векторний добуток

Його називають вектором Пойнтінга. Величина виражається в ватах на квадратний метр [Вт/м²].

По теоремі Остроградського

Отже,

(1.38)

Одержаний вираз носить назву теореми Умова-Пойнтінга: потік вектору Пойнтінга, який входить в замкнуту поверхню , дорівнює сумі двох потужностей, одна з яких , є потужністю теплових втрат всередині об’єму , обмеженого поверхнею , друга відповідає зміні енергії електромагнітного поля в тому же об’ємі.

Потужність теплових втрат завжди позитивна. Потужність відповідна зміні енергії електромагнітного поля, може бути і позитивною і негативною.

Якщо вона позитивна, то електромагнітна енергія всередині об’єму збільшується. В цьому випадку потік вектору , вхідний через поверхню , буде позитивним.

Рис. 11

Позитивна нормаль до замкнутої поверхні направлена в зовнішню сторону, отже, так же направлені і вектори . Тому для того, щоб потік вектору , вхідний через поверхню , був позитивним, вектор здебільшого повинен бути направлений всередину об’єму (кут між і здебільшого повинен бути тупим).

Вектор Пойнтінга можна визначити як величину, яка дорівнює енергії, що проходить в 1сек крізь поверхню, рівну 1м² і перпендикулярну направленню .

Теорему Умова-Пойнтінга слідує трактувати як рівняння енергетичного балансу; ліва частина рівняння (1.38) є потужність або енергія в одиницю часу, що доставляється в виді потоку вектору Пойнтінга всередину деякого об’єму; права частина є енергія, що витрачається в одиницю часу всередині об’єму.

Якщо поле не змінюється в часі то і

При висновку теореми Умова-Пойнтінга ми припускали, що в об’ємі, обмеженому замкнутою поверхнею немає джерел енергії. Якщо в об’ємі такі джерела є, причому миттєва потужність джерел дорівнює , то теорему слід записати наступним чином:

Потужність джерел в об’ємі дорівнює сумі потужностей: потужності теплових втрат, потужності зміни енергії електромагнітного поля в об’ємі і потужності енергії, що проходить крізь граничну поверхню розглядуваного об’єму.

10.Теорема умова - пойнтінга в комплексній формі

Подібно тому як в ланцюзі змінного струму для обчислення повної потужності слід умножити комплекс напруги на сполучений комплекс струму , вводиться в вживання комплексний вектор Пойнтінгу

Замість тепер буде

У відповідності із

Отже, і

Тому

Перший доданок правої частини цього виразу подає активну потужність, друге - реактивну потужність. Таким чином теорема Умова-Пойнтінга може бути записана наступним чином