Уточнення відокремленого кореня за методом простих ітерацій.
6.1.
Представлення рівняння у нормальному
вигляді.
Представимо рівняння
у нормальному вигляді
тобто виберемо
6.2. Знаходження
коефіцієнту стиску.
Використовуючи додаток TrancsEq,
одержуємо
Так як
,
то ітераційний процес буде збіжним.
6.3. Побудова ітераційної схеми.
Старт.
Як початкове (стартове) наближення можна
вибрати будь-яке число. Виберемо число
.
Ітераційний крок. Для заданого рівняння маємо
(1.5.28)
Момент зупинки.
Зупинку ітераційного процесу для
стискаючого відображення
можна здійснювати як за числом ітерацій
,
так і за величиною поточного кроку
6.4.
Підрахунок числа ітерацій, яке забезпечить
досягнення заданої точності. Для
метода простих ітерацій для стискаючого
відображення
з коефіцієнтом стиску
вірна наступна оцінка похибки
го
наближення
:
. (1.5.29)
Тому для числа – числа ітерацій, яке забезпечить досягнення заданої точності підрахунків, маємо формулу
, (1.5.30)
де
- величина першого кроку і
- єдиний корінь (фікспункт) рівняння
,
(тобто
).
Ця формула дає нам
момент зупинки за числом ітерацій: для
досягнення заданої точності
потрібно виконати
ітераційних кроків.
У нашому випадку
і
.
Обчислення зведемо у таблицю.
Таблиця 4.
Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
(зупинка за числом ітерацій)
-
1
2
3
4
1
1.04720
0.00000
1.04720
2
0.77958
1.04720
0.26761
3
0.86326
0.77958
0.08367
4
0.83858
0.86326
0.02468
5
0.84599
0.83858
0.00741
6
0.84377
0.84599
0.00221
7
0.84443
0.84377
0.00066
8
0.84424
0.84443
0.00020
9
0.844295
0.84424
0.000059
10
0.844278
0.844295
0.000018
11
0.844283
0.844278
0.000005
Зупинка обчислень
– за числом ітерацій
.
Як наближене значення кореня беремо
число з графи 11 рядка 1, тобто,
6.5. Підрахунок
величини поточного кроку
,
яке забезпечить досягнення заданої
точності.
Якщо в оцінці (1.5.28) вибрати за “нульовий
крок” наближення
і за наступне (“перше”) наближення
,
то одержуємо
(1.5.31)
Звідси, якщо виконана умова
, (1.5.32)
то
і потрібна точність є досягнутою. У
нашому випадку
Обчислення зведемо у таблицю.
Таблиця 5.
Розрахункова таблиця знаходження кореня рівняння за методом простих ітерацій
(зупинка за поточним кроком)
-
n
1
2
3
4
1
1.04720
0.00000
1.04720
2
0.77958
1.04720
0.26761
3
0.86326
0.77958
0.08367
4
0.83858
0.86326
0.02468
5
0.84599
0.83858
0.00741
6
0.84377
0.84599
0.00221
7
0.84443
0.84377
0.00066
Зупинка
за графою 4 (у рядку 7 маємо
).
Як наближене значення кореня беремо
число з графи 7 рядка 1, тобто,
.
Висновки
до лабораторної роботи. Отже,
ми знайшли, що із заданою точністю
рівняння
має найменший за абсолютною величиною
корінь х
=-1.256
± 0.001, а рівняння
має найменший за абсолютною величиною
корінь х
= 0.844
± 0.001.