2.2. Бином Ньютона Вопросы для повторения

1. Что такое бином Ньютона?

2. Как вычисляется бином Ньютона?

2.12. Возвести в седьмую степень двучлен (x + 1).

Решение

Положив в формуле a = x, b = 1, n = 7, и заменяя биномиальные коэффициенты по формуле , получим:

(x + 1)⁷ = x⁷ + 7x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + 7x + 1 = = x⁷ + 7x⁶ + 21x⁵ + 35x⁴ + 35x³ + 21x² + 7x + 1.

2.13. Вычислить (1 + i )⁶.

Решение

(1 + i )⁶ = = 8 i.

2.14. Вычислить

2.15. Найти седьмой член разложения для степени бинома .

2.16. Найти пятый член разложения для степени бинома .

2.17.  Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Найти член, не содержащий переменную х.

Тестовые задания

Вычислить:

1. 

Ответы:

1. 6 2. 12 3. 15 4. 24

2. 

Ответы:

1. к(к-1) 2. к! 3. к 4. 1

3.

Ответы:

1. 3 2. 6 3. 10 4. 12

3. Алгебра логики

3.1. Логика высказываний и предикатов

Логика предикатов вместе с входящей в нее логикой высказываний является основой логического языка математики.

Высказываниями в математической логике называют предложения, о которых можно сказать истинны они или ложны. Предикат – повествовательное предложение, содержащее предметные переменные, определенные на соответствующих множествах. При замене переменных конкретными значениями (элементами) этих множеств предложение обращается в высказывание, т.е. принимает значения "истинно" или "ложно".

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки, составляют алфавит языков логики высказываний: алгебры логики и исчисления высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы – предикатные формулы. Исследование предикатных формул и способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов.

Если имеется одно или несколько высказываний, то из них можно получить новые высказывания, называемые сложными или составными, с использованием следующих логических связок (операций):

конъюнкция (логическое произведение, операция "И") двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное – во всех других случаях (обозначается: P & Q; P  Q; ; читается: "Р и Q");

дизъюнкция (логическая сумма, операция "ИЛИ") двух высказываний Р и Q – высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное – во всех других случаях (обозначается: Р  Q; Р + Q; читается: "Р или Q"; понимается как неразделительное "ИЛИ");

отрицание (инверсия) высказывания Р – высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное – в противном случае (обозначается: ;  Р; читается: "не Р", "неверно, что Р");

импликация (логическое следствие) двух высказываний Р и Q – высказывание, ложное, когда Р истинно, а Q ложно; во всех других случаях – истинное (обозначается: Р  Q, Р  Q ; читается: "если Р, то Q", "Р влечет Q", "из Р следует Q"); при этом высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – заключением);

эквивалентность (эквиваленция, равнозначность) двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда истинные значения Р и Q совпадают, и ложно – в противном случае (обозначается: Р  Q, Р  Q, Р  Q; читается "Р эквивалентно Q", "Р, если и только если Q", "Р равнозначно Q");

неравнозначность (исключающее "ИЛИ", сложение по модулю два) двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда истинные значения Р и Q не совпадают, и ложное – в противном случае (обозначается: Р Q, Р  Q; читается "либо Р, либо Q", "или Р, или Q"; понимается – в разделительном смысле).

Введенные выше операции можно формализовать, сведя принимаемые ими значения в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Таблица истинности логических операций

А	В
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Таблица истинности может служить для формального определения операций над событиями.