Свойства действий над матрицами

Из определений действий над матрицами вытекают следующие свойства этих действий. Пусть ,  - числа, а A,B,C – матрицы. Тогда: 1) A + B = B + A; 2) (A + B) + C= A + (B + C); 3) (A) = ()A; 4) ( + )A = A + A; 5) (A+ B) = A + B; 6) (AB)C = A(BC); 7) (A + B)C = AC + BC (предполагается, что все указанные действия выполнимы; например, все матрицы квадратные одинакового порядка); 8) АЕ = ЕА, где A - любая квадратная матрица, а Е - единичная матрица такого же порядка.

Докажем, например, свойство 7). Пусть матрицы A и B имеют размерности mk, а матрица C имеет размерность kn. Элемент матрицы

(A + B)C, расположенный на пересечении i – той строки и j – того столбца [(A + B)C] = = = = = (AC) + (BC) = (AC + BC) для любых i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. Следовательно, все соответствующие элементы матриц (A + B)C и AC + BC равны, поэтому равны и сами матрицы.

Отметим, что, вообще говоря, AB  BA. Пусть, например, A = , B = , тогда AB =  = , а BA =  = . Очевидно, что  .

Матрицу, полученную из матрицы A заменой строк столбцами с теми же номерами, называют транспонированной к A и обозначают . Элементы транспонированной матрицы определяются равенствами

.

Например, если , тогда .

Определители

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, которое вычисляется по определённым правилам по элементам матрицы. Это число называют определителем (детерминантом) матрицы A и обозначают detA. Если же требуется указать элементы матрицы, то определитель записывают так

Порядком определителя det A называют порядок матрицы A. Если матрица А порядка 1 и состоит из одного элемента , то определитель такой матрицы считают равным этому числу, т.е. detA = . Далее будем считать, что порядок матрицы n > 1.

Определение. Минором элемента матрицы А называется определитель порядка n-1, который образуют элементы матрицы A, оставшиеся после вычёркивания в ней i-ой строки и j-ого столбца. Например, минором матрицы является определитель .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы A называют число = .

Из определения видно, что алгебраическое дополнение = , если i+j - чётное число, и = - , если i+j - нечётное число.

Определение, Определителем матрицы A = называется число

detA = .

1. Определитель второго порядка.

Из определения следует, что = . Например, = .

2. Определители третьего порядка.

= = .

Назовём главной диагональю ту диагональ квадратной матрицы, которая проходит из левого верхнего угла в правый нижний, а вторую диагональ назовём вспомогательной диагональю. Тогда определитель третьего порядка равен сумме (шести слагаемых, состоящих из произведения трёх элементов), в которой произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями параллельными главной диагонали, входят со своими знаками, а произведение элементов вспомогательной диагонали и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями параллельными этой диагонали, входят с противоположными знаками. Например, = 1(1)(-5) + (-2)2(-2) + 4(3)(3) - 3(1)(-2) - (-2)(4)(-5) - 2(3)1 =

-5 +8 + 36 + 6 - 40 - 6 = -1.