1.2 Операции над множествами

Пусть А и В - произвольные множества; их суммой или объединением называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств. Пусть - произвольные множества. Объединением множеств называется множество тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств , или

Очевидно, что для любого А выполняется .

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2).

A A

B B

Рис. 1 Рис. 2

Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся без остатка на три, состоит из всех целых чисел, делящихся без остатка на шесть.

Если множества С и D не имеют общих элементов, то . В этом случае множества С и D называются непересекающимися.

Полезно отметить, что .

Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств , или

Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называют множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (см. рис. 3). Ясно, что А\А=.

Е сли В, то А\В называют дополнением множества В до множества А (см. рис. 4).

А А

А\В

Рис. 3 Рис. 4

В случае, когда рассматриваются различные подмножества множества А (и только они одни), дополнение множества В до множества А называют просто дополнением.

Очевидно, что для любого множества А выполняется АА. Принято также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством каждого множества: А. Для любого множества А само А и пустое множество называются его несобственными подмножествами. Если же А, и существует элемент x такой, что x не принадлежит А, то А называется собственным подмножеством множества В.