6.3. Метод Адамса.

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции

Вычислим величины , , , .

Метод Адамса позволяет найти решение задачи – функцию - в виде таблицы функций. Продолжение полученной таблицы из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

Затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса:

.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.

6.4. Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.

Пусть задана некоторая непрерывно-дифференцируемая функция . Требуется решить нелинейное или трансцендентное уравнение вида

(31)

Встречающиеся на практике уравнения не удается решить прямыми методами, поэтому для их решения используются итерационные методы. Все итерационные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений вида (31) можно разбить на две группы:

• дискретные схемы решения.

• непрерывные схемы решения.

Дискретные схемы решения были рассмотрены выше. Заметим, что основными недостатками вышеперечисленных методов являются:

• зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня;

• сравнительно низкая скорость сходимости;

• ничего не говорится о правилах перехода от корня к корню уравнения (31) в случае, если их несколько.

При применении непрерывных схем для решения уравнения (31) процесс нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения

(32)

Пусть определена и монотонна при и существует конечная производная . Задачу нахождения корней уравнения (31), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно рассматривать как предел при решения задачи Коши

(33)

если этот предел существует. Обозначим через решение задачи Коши (33), - искомое решение уравнения (31). Тогда должно иметь место тождество . Вводя обозначение для отклонения и вычитая из (33) последнее уравнение имеем

. (34)

Разлагая в ряд Тейлора в окрестности точки с сохранением линейных членов и подставляя полученное выражение в (34), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях , решение которого имеет вид

(35)

Видим, что условием сходимости к корню является требование , так как в этом случае при , и, следовательно . Считая, что монотонна при , последнее уравнение можно распространить на всю рассматриваемую выше область. Таким образом, условием применения непрерывной схемы метода простых итераций (33) является

(36)

Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (31) имеет более одного решения, остается открытой.

Как видно из дифференциального уравнения (33) и уравнения (31) левая часть последнего заменяется производной . Данная замена является грубым приближением решения задачи (33) к решению задачи (31). Это влечёт за собой не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости расчётов.

Перепишем уравнение (31) в виде

(37)

где - малый параметр, .

Переход от задачи (31) к задаче (37) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (37), проходят через все решения уравнения (31). Задача нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при и решения задачи Коши вида

(38)

если этот предел существует.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (37) в точке будет иметь вид:

(39)

При этом, так как , то условие сходимости (36) останется прежним.

Полученная модификация классических схем решения не зависит от начальных условий и обладают более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и вводим точность решения . Моменты нахождения решений с точностью классическими и модифицированными методами обозначим как и . Используя решения (35) и (39), запишем неравенства вида

,

.

Из соотношений видно, что и . Сопоставляя полученные значения и , видим, что , т.е. скорость сходимости при решении задачи модифицированными методами в раз выше, чем классическими.