§5. Числовые Ряды с произвольными членами

Каждый из членов числового ряда с произвольными членами может быть либо положительным, либо отрицательным числом, либо нулем.

5.1. Достаточный признак сходимости рядов с произвольными членами. Абсолютно сходящиеся ряды

Теорема. Для сходимости числового ряда с произвольными членами

(6.79)

достаточно, чтобы сходился ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то есть, чтобы сходился ряд с положительными членами

. (6.80)

Доказательство. Дано, что сходится ряд с положительными членами (6.80) и на этом основании нужно доказать, что сходится ряд (6.79).

Особенно просто доказывается эта теорема, если в ряде (6.79) имеется конечное число отрицательных членов, а все остальные (в бесконечном числе) – положительные.

Рассматривая члены ряда (6.79) слева направо, отметим в нем последний отрицательный член . Это означает, что если в (6.79) отбросить все v начальных членов, то получившийся ряд

(6.81)

содержит только положительные члены, и потом он совпадает с рядом

. (6.82)

Но ряд (6.82) получен из сходящегося ряда (6.80) в результате отбрасывания конечного числа v начальных членов и по теореме 4 (гл.6, §2) ряд (6.82), а значит и ряд (6.81) сходятся. По этой же теореме сходится и ряд (6.79), так как он получается из сходящегося ряда (6.81) в результате добавления конечного числа членов .

Если ряд (6.79) содержит конечное число положительных членов, а остальные в бесконечном числе отрицательные, то, не изменяя его сходимости или расходимости, умножим все члены ряда на –1 и тем самым сводим доказательство к предыдущему случаю.

Остается рассмотреть тот случай, когда в ряде (6.79) имеется бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

В этом случае довольно легко можно составить два вспомогательных ряда: ряд, в котором содержатся только положительные члены ряда (6.79), а на месте отрицательных членов находятся нули и ряд, составленный из всех отрицательных членов того же ряда, а на месте положительных членов нули.

Проверим, что ряд, составленный из всех положительных членов ряда (6.79) имеет вид

. (6.83)

Точно так же ряд

(6.84)

содержит все отрицательные члены ряда (6.79). Однако, вместо (6.84) удобно рассматривать ряд с положительными членами, полученный из (6.84) умножением всех его членов на –1

. (6.85)

Сначала займемся рядом (6.83). Его общий член

если x_n > 0,

если x_n < 0.

Отсюда и заключаем, что если x_n > 0, то на соответствующем месте в ряде (6.83) находится этот же член x_n; если же x_n < 0, то на соответствующем месте в (6.83) стоит нуль.

Теперь, обращаясь к рассмотрению общего члена ряда (6.85) имеем, что

если x_n > 0

если x_n < 0.

Поэтому в ряде (6.84) на тех же местах, что и в (6.79) находятся отрицательные члены ряда (6.79), на тех же местах где в (6.79) стояли положительные члены, в (6.84) будут нули.

Далее сравним два ряда с неотрицательными членами (6.80) и (6.83). Ряд (6.80) является мажорантой ряда (6.83). Но так как мажоранта (6.80), по предположению сходится, то сходится также ряд (6.83). Аналогично ряд (6.80) является сходящейся мажорантой для ряда с положительными членами (6.85), а потому ряд (6.85) сходится. Но разность сходящихся рядов также есть сходящийся ряд и потому, вычитая почленно из сходящегося ряда (6.83) сходящийся ряд (6.85), получаем сходящийся ряд (6.79).

Заметим, что доказанная теорема необратима; именно, существуют такие ряды (6.79), которые сходятся, но составленный для них ряд (6.80) расходится.

В связи с этим введем следующие определения:

Определение 1. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. если сходится ряд с положительными членами .

Определение 2. Числовой ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся рядом, если этот ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов , является расходящимся рядом.

_{Примером такого ряда может служить ряд}

_.

Этот ряд как будет установлено в следующем разделе п.5.2 сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, представляет собой расходящийся гармонический ряд .

Доказанная теорема имеет важное практическое значение. Она сводит исследование сходимости произвольного ряда (6.79) на более простую задачу исследования сходимости ряда с положительными членами. При этом становится возможным использовать, доказанные прежде, достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами. Покажем, как это делается, например, для признака Даламбера.

Для произвольного ряда с действительными членами

(6.86)

образуем ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (6.86)

. (6.87)

Для ряда (6.87) с положительными членами используем признак Даламбера в форме предельного равенства. Пусть существует предел

. (6.88)

Тогда, если , то ряд (6.87) сходится и по последней теореме сходится также ряд (6.86).

Теперь пусть , тогда ряд (6.87) расходится. Из расходимости ряда (6.87) следует также расходимость ряда (6.86). Действительно, если в (6.88) , то найдется достаточно большое число v, что при всех n > v будет выполнено неравенство или

Другими словами при n > v абсолютные величины членов ряда (6.86) возрастают. Значит, необходимый признак сходимости ряда не выполнен и потому ряд (6.86) расходится.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать ряд

(6.89)

При x > 0 этот ряд является рядом с положительными членами. При x < 0 ряд содержит положительные и отрицательные члены. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (6.89) и применим к нему признак Даламбера. Здесь и потому

при любых x . Значит при ряд (6.89) не только сходится, но и абсолютно сходится.

Пример 2. Исследовать ряд

(6.90)

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

К последнему ряду с положительными членами применим признак Даламбера. Имеем

_.

Пусть , тогда и . Следовательно, при всех ряд (6.90) расходится. Если x = 0, то из (6.90) заключаем, что ряд сходится.

Пример 3. В этом примере будет показано, как применяется признак сравнения к рядам с произвольными членами.

Исследовать ряд

(6.91)

Составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда

(6.92)

Но (n = 1,2,…) и потому ряд является сходящейся мажорантой для ряда (6.92). Следовательно, ряд (6.92) сходится, а это означает, что ряд (6.91) также сходится и притом абсолютно при всех значениях x.