Вопросы к экзамену

I Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии

1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-го порядка и его вычисление.

2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.

3. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли (формулировка). Правило Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

5. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение.

6. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

8. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису.

9. Декартова система координат. Координаты вектора.

10. Направляющие косинусы, длина вектора.

11. Деление отрезка в данном отношении.

12. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

13. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и применение.

15. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

16. Плоскость в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

17. Прямая в пространстве. Различные способы задания. Взаимное расположение прямых в пространстве.

18. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

19. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и вывод канонических уравнений. Исследование формы кривых по их каноническим уравнениям.

20. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Исследование поверхностей методом сечений.

II Введение в математический анализ

21. Элементы математической логики. Символы математической логики, их использование. Множество действительных чисел.

22. Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.

23. Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций.

24. Гиперболические функции, их свойства и графики.

25. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

26. Число e. Натуральные логарифмы.

27. Предел функции в точке, односторонние пределы. Геометрическая иллюстрация определений.

28. Предел функции в бесконечности. Геометрическая иллюстрация.

29. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

30. Основные теоремы о пределах.

31. Первый и второй замечательные пределы.

32. Сравнение бесконечно малых функций.

33. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

34. Свойства функций непрерывных в точке.

35. Свойства функций непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Коши, о промежуточных значениях) и их геометрический смысл.

III Дифференциальное исчисление функции одной переменной

36. Задачи, приводящие к определению производной.

37. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы.

38. Односторонние производные. Производная сложной и обратной функции.

39. Основные правила дифференцирования.

40. Основные формулы дифференцирования.

41. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

42. Свойства дифференциала и инвариантность его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

43. Производные и дифференциалы высших порядков.

44. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля (с доказательством), Коши (без доказательства), Лагранжа (с доказательством).

45. Правило Лопиталя (доказательство для случая неопределенности ).

46. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков (возрастание, убывание, экстремум, выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба, асимптоты графика функции).