1. О функциях, разлагающихся в степенной ряд

Если функция представлена в виде суммы функционального ряда, то говорят, что она разлагается в (этот) ряд.

Функцию , разлагающуюся в некоторой окрестности точки в степенной ряд:

, ,

на любом отрезке , содержащемся в интервале сходимости можно приблизить с любой точностью ε многочленом

при достаточно большом значении и потому найти ее приближенное значение также с любой точностью. Это является актуальным даже для основных элементарных функций , , , …, алгоритмы вычисления которых в программах для калькуляторов и компьютеров основаны на их разложениях в степенные ряды.

В виде степенных рядов можно представить различные интегралы, зависящие от параметра (примеры 5.2.5, 5.2.6). При этом используется следующее свойство степенного ряда. Степенной ряд (5.1) можно почленно интегрировать по любому отрезку , содержащемуся в интервале сходимости :

.

В виде степенного ряда обычно можно представить решения дифференциального уравнения n-го порядка ( ) (пример 5.2.7).

2. Ряд Тейлора

Если функция разлагается в степенной ряд (5.1), то коэффициенты ряда имеют вид , где – производная n-го порядка функции в точке , а , то есть

В такой записи ряд называется рядом Тейлора функции в точке (по степеням ). В частном случае разложение в ряд Тейлора принимает вид

.

В дальнейшем только такие разложения и будем рассматривать.

3. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций

, .

, .

, .

,

, .

2. Примеры решения задач

1. Вычислить с точностью до 0,01.

◄ Подставляя в формулу (5.4) , получим

.

Ряд – знакочередующийся, абсолютные величины его членов убывают и стремятся к нулю. По признаку Лейбница сумма этого ряда не превосходит первого члена .

Поэтому с точностью до 0,01

,000–0,500+0,125–0,021=0,604.

Округляя до сотых, получаем 0,60. ►

2. Найти четыре члена разложения в ряд по степеням x функции .

◄ Для функции воспользуемся рядом Тейлора (5.3):

Находим ,

, ,

, , .

Подставляя найденные значения в (5.3), получаем, учитывая, что ,

►

3. Разложить в ряд по степеням x функцию

◄ Запишем в виде . По формуле (5.7)

.

Подставляя сюда , получаем

.

Прибавим единицу и умножим на ½:

,

. ►

4. Разложить в ряд по степеням x интегральный синус

.

Используя это разложение, найти с точностью до 0,001.

◄ 1. Из стандартного разложения (5.5) для синуса

получаем разложение в степенной ряд подынтегральной функции

.

Интегрируя этот ряд почленно, получаем разложение в степенной ряд интегрального синуса

,

или окончательно

2. .

Абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают и стремятся к нулю. По признаку Лейбница его сумма . Поэтому с точностью до 0,001

,0555+0,0017=0,9462.

Итак, 0,946. ►

5. Разложить в ряд по степеням x функцию .

◄ Разложим в степенной ряд подынтегральную функцию. По формуле

.

Подставляя сюда , получаем

,

.

Интегрируем этот ряд почленно:

=

=

.

Итак, ►

6. Найти четыре члена разложения в ряд по степеням x решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям .

◄ Ищем решение в виде ряда Тейлора:

Значения и нам заданы начальными условиями.

Так как – решение уравнения, то имеет место тождество

,

из которого находим .

Дифференцируя тождество , получаем

,

откуда

.

Подставляя найденные производные в ряд Тейлора , получаем .►