Якщо на неперервній кривій рівномірно розподілена маса з лінійною щільністю , то статичними моментами та моментами інерції кривої г відносно осей координат називаються відповідно величини:
, (8.3)
, (8.4)
а
координати її центра ваги
обчислюються за формулами :
, (8.5)
де l – довжина кривої Г.
Припустимо,
що криволінійна трапеція
лежить з одного боку вісі
і що матеріал, з якого вона зроблена,
однорідний. Тоді статичними моментами
та моментами інерції цієї трапеції
відносно осей
та
називаються відповідно величини:
, (8.6)
, (8.7)
а координати її центра ваги знаходяться за формулами
, (8.8)
де S – площа трапеції.
Приклад
8.8
Знайти координати центра ваги однорідної
дуги астроїди
,
розташованої в першому квадранті.
Розв'язання.
Ця дуга симетрична відносно бісектриси
,
а тому
.
Як відомо, довжина цієї дуги (приклад
4.1 розділу ІІІ)
.
Тоді
Отже,
.
Приклад
8.9.
Знайти координати центра ваги однорідної
фігури розташованої в першому квадранті
і обмеженої дугою астроїди
та координатними осями.
Розв'язання. З урахуванням, що фігура має симетрію відносно прямої , маємо , а тому за формулою (8.8) маємо
;
Отже
.