Примеры для самостоятельного решения

1. ; 17. ;

2. ; 18. ;

3. ; 19. ;

4. ; 20. ;

5. ; 21. ;

6. ; 22. ;

7. ; 23. ;

8. ; 24. ;

9. ; 25. ;

10. ; 26. ;

11. ; 27. ;

12. ; 28. ;

13. ; 29.

(функция задана неявно);

14. ;

15. ;

16. ;

30. ;

31. .

VI Условный экстремум

Если точки экстремума функции ищутся только среди точек таких, что для них выполнены условия , то говорят, что решается задача на условный экстремум, при этом равенства и называют уравнениями связи. Заметим, что уравнений связи может быть одно или два, но не больше числа независимых переменных.

В зависимости от того, каковы уравнения связи, используются следующие способы решения задачи условного экстремума:

а) Прямой метод нахождения точек условного экстремума:

если дано одно уравнение связи , и его можно разрешить относительно одной из переменных, например , то задача условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции .

Пример 4. Найти условные экстремумы функции , если .

Разрешим условие связи относительно переменной : .

Подставив полученное значение в выражение для , сведем задачу к нахождению

обычного локального экстремума функции двух переменных

.

Решим ее: .

Для нахождения стационарных точек получим систему:

.

Последняя система распадается на следующие системы:

1) 2) 3) 4) .

Найдем производные второго порядка:

.

В точке имеем: .

и, следовательно, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.

В точке (3;0): -- нет экстремума.

В точке (0;2):

-- нет экстремума.

В точке : . Так как , то в точке функция имеет локальный максимум. Тогда функция имеет в точке условный максимум и .

Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что переменные связаны уравнениями связи . Предполагается, что функции дважды непрерывно дифференцируемы.

Задача определения условного экстремума сводится к нахождению обычного локального экстремума функции Лагранжа:

,

где -- постоянные множители.

Приведем схему исследования функций на условный по методу, предложенному Лагранжем.

а) Находим критические (подозрительные) точки на экстремум функции из системы уравнений: .

б) Вопрос о существовании и характере условного экстремума, как и в случае локального экстремума, решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа в критических точках, при условии, что связаны соотношениями, которые получаются при дифференцировании уравнений связи:

Пример 5. Исследовать на условный экстремум функцию

, если .

Составим функцию Лагранжа:

и записанную выше систему уравнений:

Из системы следует, что точки (5;-4) и (-5;4) – условно-стационарные точки. Проверим, будут ли они точками условного экстремума данной функции. Для этого вычислим второй дифференциал функции Лагранжа:

.

Дифференцируя уравнение связи, получим:

.

Тогда в точке (5;-4) имеем: . И, учитывая, что для этой точки , получим . Следовательно, в точке (5;-4) функция имеет условный максимум, .

Аналогично, в точке (-5;4) имеем: и при этом

. Поэтому в точке (-5;4) функция имеет

условный минимум, .