9.6. Дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, допускающие понижение порядка Краткие теоретические сведения

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены подстановкой данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение второго порядка:

. (6.1)

Порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения.

Так как , то уравнение (6.1) можно записать в виде . Тогда . Далее, интегрируя полученное уравнение по , находим: – общее решение данного уравнения.

Аналогично поступают в случае, если уравнение задается в виде:

. (6.1*)

Общее решение находят методом n-кратного интегрирования:

.

2. Рассмотрим уравнение:

, (6.2)

явно не содержащее искомую функцию .

Сделаем замену , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение (6.2) принимает вид . Пусть – общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяем функцию , получаем ДУ . Для отыскания достаточно проинтегрировать последнее ДУ, тогда общее решение ДУ (6.2) будет иметь вид .

ДУ n-го порядка вида:

, (6.2*)

которое не содержит явно искомой функции сводится к уравнению -го порядка с помощью подстановки , учитывая, что . Получаем уравнение:

.

Если удастся отыскать общее решение последнего уравнения в виде , получим дифференциальное уравнение

вида (6.1.*), решение которого находят k-кратным интегрированием.

3. Рассмотрим ДУ второго порядка, явно не содержащее независимую переменную :

. (6.3)

В этом случае порядок можно понизить с помощью новой функции , зависящую от переменной , полагая . Тогда

,

так как . Таким образом, , тогда уравнение (6.3) запишется в виде . Пусть – общее решение этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем – ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем общий интеграл уравнения (6.3):

.

При решении уравнения

(6.3*)

поступаем аналогично. Его порядок всегда можно понизить на единицу с помощью подстановки , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим , затем

и т.д.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение вида (6.1*). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:

,

,

.

Пример 2. Решить ДУ .

Решение. Данное уравнение есть неполное ДУ второго порядка, в нем явно отсутствует .

Подстановкой , сводим его к уравнению первого порядка – ДУ с разделяющимися переменными.

.

Так как , получаем еще одно ДУ первого порядка . Интегрируем получившееся ДУ:

.

Пример 3. Найти общее решение ДУ третьего порядка

.

Решение. Данное уравнение является уравнением 2-го типа (6.2), где . Вводим новую функцию и получаем из исходного уравнения линейное уравнение , которое записываем в виде

.

Для его решения воспользуемся формулой (4.5), получаем:

.

Так как , то приходим к новому ДУ, решение которого находится с помощью двукратного интегрирования:

.

Пример 4. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Данное ДУ относится к 3-му типу, в нем явно отсутствует переменная .

Воспользуемся подстановкой , где , тогда :

.

1) . Если , то .

2) .

Учитывая, что , получаем – уравнение первого порядка

– общее решение. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Найдем : . Подставим в выражения для и значения , получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Следовательно, данное уравнение имеет два частных решения:

и .

Пример 5. Найти общее решение ДУ третьего порядка

.

Решение. Имеем уравнение вида (6.3*). Введем новую функцию , где . Тогда

.

После подстановки получаем уравнение:

.

Преобразуем получившееся уравнение:

,

.

1) .

2) . Сделаем обратную замену , получаем:

.