3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

, (1).

Это равенство означает, что вектор , подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ¸ в результате появляется коллинеарный самому себе вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие операторов на которые переводит их в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, то преобразование линейной алгебры значительно упростятся. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме :

Преобразуем это уравнение: или

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:

Для существования ненулевых решений ранг матрицы должен быть меньше числа переменных r<n. В этом случае должно быть выполнено условие : (2).

Расписав это уравнение в развернутом виде , получим:

=0

Расписав определитель, получим уравнение n-ой степени относительно λ:

.

Это уравнение и уравнение (2) называются характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора, многочлен левой части уравнения (2) – характеристическим многочленом.

Решив характеристические уравнения, получаем собственные числа λ₁ , λ₂…λ_n. Для каждого найденного λ_i найдем ненулевые векторы ядра оператора - λ_i·E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λ_i. Другими словами необходимо решить однородную систему уравнений . Ее решение и даст всю совокупность собственных векторов отвечающих λ_i.

Независимость собственных векторов.

Теорема. Собственные векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям λ₁λ₂…..λ_n линейно независимы. Важнейшее следствие: определитель матрицы не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Пусть - оператор в новом базисе, тогда

т.е. при переходе к новому базису собственные числа сохраняются. Наиболее простой вид принимает матрица P линейного оператора , имеющего n линейно независимых собственных векторов с собственными значениями λ₁,λ₂…λ_n .Векторы примем за базисные. Тогда разложение векторов по базису ₁, ₂... _n как это следует из свойств линейных операторов, примет вид :

Отсюда следует, что если i=j и a_ij=0 если i ≠ j. Таким образом, в базисе составленном из собственных векторов, матрицы оператора будет иметь диагональный вид.

P= =

Верно и обратное если матрица P линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса- собственные векторы оператора .