Удар по конструкции вертикально движущимся телом

Для наглядности рассмотрим не произвольную упругую систему, а тяжелую балку (рис. 15.44, а), на которую с высоты падает груз массой . Выберем у балки точку , в которой происходит удар, за точку приведения массы и заменим балку с распределенной массой ( - вес единицы длины балки, - ускорение свободного падения) балкой с одной приведенной массой (рис.15.44, б), т.е. заменим упругую систему с бесконечным числом степеней свободы на систему с одной степенью свободы. Обозначим через:

(15.132)

статический прогиб балки, соответствующий точке в системе с приведённой массой, жёсткость балки.

Пусть - скорость падающего тела в момент удара, а - скорость приведённой массы и «прилипшего» к нему падающего тела сразу после удара. Если груз падает с высоты , то . Из условия сохранения количества движения системы имеем:

откуда

(15.133)

Рис. 15.44

Скорость будет, с другой стороны, начальной скоростью объединенной массы в ее колебательном движении после удара (2-й этап).

Пусть статический прогиб балки в точке от веса падающего груза , т.е.

(15.134)

Тогда полный статический прогиб:

(15.135)

После удара начнётся колебательное движение упругой системы. По закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии системы при максимальном отклонении от статического положения равновесия перейдёт в потенциальную энергию деформации упругой системы:

,

где динамическое перемещение после удара,

,

т.к. по закону Гука; – жёсткость упругой системы.

В результате получаем уравнение:

или, с учётом (15.133) – (15.135):

Решая полученное квадратное уравнение, находим:

где

(15.136)

динамический коэффициент.

В частности при внезапном ударе ( ) имеем .

Можно иначе определить динамический коэффициент. Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы после удара будет:

или

(15.137)

где

(15.138)

Решением уравнения (15.137) будет:

(15.139)

где

Закон движения (15.139) представлен на рис. 15.45.

Рис. 15.45

Начальные условия колебательного движения системы после удара

при (15.140)

Удовлетворяя решение (15.140) этим условиям, найдем:

или

откуда находим:

(15.141)

Найдем теперь максимальное отклонение системы от исходного состояния в ее колебательном движении:

(15.142)

Соотношение (15.142) можно записать

(15.143)

где

(15.144)

коэффициент динамичности. Он показывает во сколько раз прогиб от удара больше прогиба при статическом приложении того же груза.

Если , то ,

В этом случае динамический коэффициент (105.144) принимает вид:

(15.145)

Выражение (15.144) совпадает с (15.136) при

По закону Гука

Следовательно, максимальное напряжение

(15.146)

где напряжение в балке до удара груза , - статическое напряжение от груза При имеем

Удар по конструкции горизонтально движущимся телом

Рассмотрим теперь удар по конструкции горизонтально движущимся со скоростью телом с массой (рис. 15.46).

В этом случае

а) б)

Рис. 15.46

(15.147)

(15.148)

Закон движения:

представлен на рис. 15.46,б.

Зная можно всегда найти в упругой системе возникающие динамические напряжения.

Продольные колебания стержня

Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 15.47), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.

Рис. 15.47

Пусть - плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной равна:

(15.149)

Осевое перемещение сечения:

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения и времени .

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

или, с учётом (15.149),

(15.150)

Поскольку

(15.151)

то, исключив с помощью (15.151) из (15.150) усилие , находим уравнение:

(15.152)

где

(15.153)

Уравнение (15.152) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина называется скоростью распространения упругой волны. Для стали = 4900 м/с, для алюминия = 5100 м/с.

Решение уравнения (15.152) ищем в виде:

(15.154)

Подставляя (15.154) в (15.152), получим:

(15.155)

или, после разделения переменных:

откуда для функций , получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

(15.156)

(15.157)

Общий интеграл уравнения (15.156):

(15.158)

откуда видно, что - это круговая частота свободных колебаний.

Общий интеграл уравнения (15.157) имеет вид:

(15.159)

Постоянные , находятся из граничных условий на концах стержня.

Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.15.48,а).

а) б)

Рис. 15.48

При имеем , а при имеем

Тогда получаем:

(15.160)

Если , то колебания отсутствуют. Если , то и тогда:

(15.161)

Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при :

(15.162)

Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы (рис.15.48, б). На закрепленном конце при по-прежнему имеем , из (15.159) следует .

На свободном конце с прикрепленной массой на основании принципа Даламбера имеем:

(15.163)

или с учетом (15.104), (15.156):

(15.164)

Подставляя (15.159) при в граничное условие (15.164), находим:

(15.165)

Если , никаких колебаний нет. Если то колебания есть. Для удовлетворения условия (15.165) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:

(15.166)

где через обозначена масса стержня. Решение уравнения (15.166) можно найти графически (рис. 15.49). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

Рис. 15.49

(15.167)

При малых частотах, когда малая величина, уравнение (15.166) упрощается:

(15.168)

откуда следует:

(15.169)

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня можно пренебречь по сравнению с массой груза.

Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении в уравнении (15.166) два слагаемых:

Тогда получим:

откуда

(15.170)

При больших значениях гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от Следовательно,

Поперечные колебания стержня

Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения с площадью F (рис. 15.50).

Рис. 15.50

Участок балки длиной имеет массу где - плотность материала. Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки четвертого порядка статической задачи:

(15.171)

При рассмотрении динамической задачи мы должны считать, что прогиб является функцией двух переменных и . Нагрузка также должна зависеть от координаты и времени . Учитывая только инерционную силу и используя принцип Даламбера, вместо (15.171) получаем дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки:

(15.172)

Как и в случае продольных колебаний, решение задачи ищем в виде:

(15.173)

Можно считать Тогда после подстановки (15.173) в (15.172), получим уравнение

(15.174)

где

(15.175)

Решение уравнения (15.174) имеет вид

(15.176)

Постоянные А, В, С, D находим из граничных условий на опорах:

при ,

при . (15.177)

Из первых двух условий имеем . Из двух других находим:

(15.178)

Приравнивая нулю определитель системы уравнений (15.178), получим:

(15.179)

Так как только при , то остаётся принять:

или, согласно (15.175),

(15.180)

Из (15.178) при и следует . Таким образом, при изгибных колебаниях балки образуется бесконечное число частот собственных колебаний, пропорциональных , где – число полуволн изогнутой оси балки. Прогибы балки:

(15.181)

При колебаниях в основном тоне балка изгибается по одной полуволне ( ). При имеем две полуволны, при – три (рис. 15.50).

Колебания балки в основном тоне ( ) можно использовать для определения динамического модуля упругости материала, из которого изготовлена балка. Из (15.180) получаем:

(15.182)

где - частота колебаний.