1.3. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками и :

(4)

Деление отрезка АВ, в данном отношении (то есть, найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ):

, .

(5)

Площадь треугольника АВС с вершинами , , :

(6)

Пример 3. Найти расстояние от точки до середины отрезка , где , .

Решение. Пусть точка – середина отрезка . Используя формулы (4), найдем ее координаты

.

.

Тогда расстояние от точки до середины отрезка точки по формуле (3)

.

4. . Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую- либо другую называется преобразованием системы координат.

Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат к новой системе , при котором меняется положение начала координат, перемешается в точку , а направление осей и масштаб остаются неизменными. Формулы

(7)

позволяют находить старые координаты по известным новым и и наоборот.

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными. Формулы

(8)

называются формулами поворота осей.

2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Общее уравнение прямой на плоскости – уравнение первого порядка относительно текущих координат:

, (9)

где А,В,С– произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. Если А=0, то прямая параллельна оси абсцисс, если В=0, то прямая параллельна оси ординат, если С=0, то прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

, (10)

где число называется угловым коэффициентом прямой, b – отрезок,

отсекаемый прямой на оси ординат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, определяемым угловым коэффициентом k

(11)

Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

(12)

Уравнение прямой в отрезках a и b, отсекаемых прямой на координатных осях ox и oy ,соответственно

.

(13)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору - нормальному:

(14)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно заданному вектору - направляющему – каноническое уравнение

(15)

Параметрическое уравнение получим из (15)

,

(15)

где t –параметр.

Полярное уравнение прямой:

.

(17)

Нормальное уравнение прямой:

.

(18)

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то величину угла между двумя прямыми легко получить из формулы

(19)

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Условием перпендикулярности прямых является равенство .

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением вычисляют по формуле:

.

(20)

Пример 4. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение: По формуле (20)получаем

Пример 5.

Даны вершины четырехугольника Найти точку пересечения его диагоналей и вычислить величину угла между ними.

Решение.

А(-9;0)

Рис.6.

Уравнения диагоналей – это уравнения прямых, проходящих через две заданные точки. Тогда уравнение АС

,

уравнение ВD

.

Совместно решая уравнения

,

найдем точку пересечения диагоналей .

Угол между двумя прямыми найдем по (19):

.

.

3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ