2.4 Эффективная масса электрона в кристалле, её связь со структурой энергетических зон. Понятие дырки. Динамика электрона в периодическом поле изитропных и анизотропных кристаллов.
Эффективная масса носителей заряда в телах
В кристалле на электрон действуют огромные силы со стороны кристаллического поля U( ), которые превосходят по величине внешние силы со стороны электрических и магнитных полей.
Поэтому для описания динамики электрона под действием внешних полей с использованием законов механики для свободного электрона ввели понятие эффективной массы −m*
В эффективную
массу m* ”упрятали„
все внутренние силы
Электроны
в кристалле ускоряются только под
действием внешних сил
и
m* связывает силу
и ускорение
.
Введем m*:
E
−закон
дисперсии− непрерывная функция в
пределах
имеющая
экстремуму в различных точках
.пусть
в точке
−находится
экстремум функции E
.
Разложим в ряд
Тейлора функцию E
вблизи малой окрестности
E
=E(
)+
в точке
,
где: − вторая производная по векторному аргументу =тензору второго ранга.
Запишем E
в
форме аналогичной для свободного
электрона: E(
)=
,
где
−масса
свободного электрона E
=E(
)+
,
где
−тензор
обратной эффективной массы −размерность.
Обратной массы, т.к. размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса.
(
)−
материальная константа вещества
поэтому главные оси тензора обратной
массы совпадают с главными осями
(основными) симметрией кристалла.
Запишем тензор
(
)
в главных осях, при этом
=
=
[
],
где
−главные
значения тензора обратной эффективной
массы.
Запишем закон дисперсии в главных значениях тензора обратной эффективной массы:
E(
)=E(
)+
,где:
−кинетическая
энергия электрона проводимости, имеющая
разные массы по направлениям
.
Величина 1:
=
−компоненты эффективной массы по
направлениям
.
Понятие m*−неформальное ,т.е m* позволяет описывать динамику электрона в периодическом поле под действием внешних сил, но только для энергий в узком интервале, вблизи экстремумов в зоне.
О знаке m*
В близи минимума
энергии в зоне (дно зоны) тензор обратной
эффективной массы имеет положительный
знак (
),
то эффективная масса электрона
−положительна (
),
в близи максимума энергии в зоне (потолок
зоны) −(
)−
отрицательный знак, поэтому эффективная
масса электрона отрицательна (
).
Т.о у потолка зоны электрон будет как частица с отрицательной массой, что означает, что он ускоряется против направления действия внешней силы.
Электрон с
заменяют квазичастицей с положительным
зарядом
=
и положительной массой равной массе
электрона.
Такая частица ускоряется нормально −по направлению силы −называют дыркой
Анизотропный и изотропный квадратичные законы дисперсии
Введение m* позволяет записать в квадратичной форме законы дисперсии E( ) для кристаллов различной симметрии, но вблизи экстремальных значений энергии, где справедливо понятие m*.
Анизотропный закон
дисперсии E(
)−эффективная
масса− тензор.
Положим
,
E(
)
,то
E(
)=
Изотропный закон
дисперсии− характерен для прямозонных
п/п , для электронов вблизи точки (
)−
эффективная масса (скалярная величина).
E(
)=
(1:
),
−изотропная
величина
Анизотропный закон E( )−характерен для электронов в зоне проводимости непрямозонных п/п.
E(
)=
Оси x, y, z− главные оси симметрии кристалла и тензора обратной эффективной массы.