1. Графики основных элементарных функций

Дадим сначала определения основных элементарных функций и элементарных функций, а затем построим графики основных элементарных функций.

Определение 1. 1 Постоянная функция , степенная функция , показательная функция ( ), логарифмическая функция , тригонометрические функции: и обратные тригонометрические функции: называются основными элементарными функциями.

Определение 2. 2 Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также конечного числа суперпозиций этих функций называются элементарными функциями.

Если график некоторой функции при смещении его на некоторый отрезок длины вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической. Длина такого отрезка называется периодом функции . Периодичность функции может быть кратко выражена формулой

Функция называется четной, если

и нечетной, если

В случае когда функция не является ни четной ни нечетной, т.е. и , то называется функцией общего вида.

1.1. Постоянная и степенная функции

Рассмотрим постоянную функцию . Область ее определения - вся числовая ось . График функции - это прямая, параллельная оси , проходящая через точку . На рис. 1 изображен график функции .

Рис. 1. График функции .

Степенная функция имеет график разной формы, в зависимости от значения . При , степенная функция обращается в постоянную: , а эта функция нами уже рассмотрена, поэтому положим .

В общем случае степенная функция определена при . Однако, при некоторых значениях область определения функции можно расширить. Рассмотрим часто встречающиеся ситуации.

1. Если - целое положительное число: , , то степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой. На рис. 2 приведены графики функций , и .

Рис. 2. Графики функций , и .

2. Если - целое отрицательное число: , , то функция определена на всей числовой прямой за исключением точки . Приведем на рис. 3 (а, б) графики функций и .

Рис. 3. Графики функций , , и .

3. Если , то функция определена при . На рис. 3 (в, г) приведены графики функций и .

4. Если , то функция определена при . На рис. 4 приведен график функции .

Рис. 4. График функции .

1.2. Показательная и логарифическая функции

Показательная функция , определена на всей числовой оси. Её график имеет различный вид в зависимости от значения основания (см. рис. 5). Однако, при любых значениях график функции будет находиться выше оси , т.к. для всех , и проходить через точку , т.к. .

Рис. 5. Графики функции при и при .

Логарифмическая функция имеет смысл при , . Графики функции приведены на рис. 6 для и . При любом допустимом значении основания график проходит через точку

Рис. 6. Графики функции при и при .