§ 5. Структурные модели пористых сред

Как уже отмечалось выше, реальные коллекторы углеводородного сырья имеют сложное строение пустотного пространства, которое образу­ется поровыми каналами, резко изменяющими диаметр и направление, со­стоят из частиц различной формы и размеров и т.д. Поэтому построение аналитических решений, учитывающих все перечисленные особенности реальных пористых сред, практически невозможно. В связи с этим в подземной гидромеханике часто пользуются упрощенными идеализирован­ными моделями пористой среды. К таким моделям относятся идеальные (капиллярные) и фиктивные (корпускулярные) грунты (среды). В корпус­кулярных моделях пористая среда моделируются шарами, а в капиллярных моделях - капиллярными трубками.

Простейшая корпускулярная модель, в которой пористая среда моделируется упаковкой шаров постоянного диаметра, называется фиктивным грунтом (или фиктивной пористой средой). Простейшая капиллярная модель, в которой пористая среда моделируется капил­лярными трубками постоянного диаметра, уложенными с постоян­ным периодом, называется идеальным грунтом (или идеальной порис­той средой). Наиболее популярные модели фиктивного грунта получают­ся при наиболее плотных упаковках шаров. Две основные упаковки — ку­бическая и гексагональная получаются следующим образом: первый пло­ский слой уложен так, что каждый шар касается шести соседних, каждый шар второго слоя помещается в углубление между тремя шарами первого слоя (рис. 1.8, 1.9). При наложении третьего слоя возможны два варианта. В первом варианте (кубическая упаковка) каждый шар третьего слоя лежит на трех шарах второго слоя таким образом, что под шаром третьего слоя нет шара первого слоя (рис. 1.10). Во втором варианте (гексагональная упаковка) каждый шар третьего слоя лежит на трех шарах второго, но под каждым шаром третьего слоя оказывается шар первого слоя. Кроме ука­занной, наиболее плотной упаковки с кубической симметрией рассматри­вают и такую упаковку, когда в первом слое каждый шар касается только четырех шаров, а все последующие слои повторяют первый. Назовем по­следнюю кубическую упаковку шаров рыхлой кубической упаковкой. Для капиллярных моделей идеального грунта наиболее простые модели полу­чаются при взаимно перпендикулярном расположении капилляров.

Рис. 1.10. Плотнейшие упаковки шаров

по кубическому (а) и гексагональному (б) законам.

Введение в рассмотрение идеальных и фиктивных грунтов и полу­чаемое в результате упрощение структуры порового пространства позво­ляют находить аналитические формулы, связывающие между собой фильтрационно-емкостные характеристики таких упрощенных пористых сред, и далее обобщать полученные соотношения на реальные пористые среды. Рассмотрим вначале основные соотношения для фиктивного грунта.

Для фиктивного фунта достаточно просто получается соотношение, которое связывает удельную поверхность с пористостью упаковки т и диаметром шаров D. Возьмем объем, в котором имеется п шаров. Тогда весь объем можно представить как сумму объема пустот и шаров -

Из полученного равенства получаем

(1.19)

Удельная поверхность, очевидно, равна площади поверхности одного ша­ра, умноженной на число шаров в упаковке:

(1.20)

Из выписанных соотношений (1.19) и (1.20) следует

(1.21)

Более детальное исследование модели фиктивного фунта было предпринято С. Слихтером, который схематизировал наиболее плотные упаковки шаров, введя элементарную ячейку упаковок шаров (рис. 1.11), и нашел аналитические формулы для пористости и просветности:

(1.22)

и

(1.23)

Рис 1.11. Элементарная ячейка упаковки шаров

где θ - острый угол боковой грани элементарной ячейки ромбоэдра в ук­ладке шаров.

Значение угла по С. Слихтеру изменяется в пределах от 60° до 90°, и, следовательно, пористость и просветность изменяются в пределах 0,259 ≤ т ≤ 0,476 и 0,0931 ≤ s ≤ 0,2146. Как следует из соотношений (1.22) и (1.23), ни пористость, ни просветность не зависят от диаметра шаров и определяются только уг­лом θ. Поэтому, исключив из соот­ношений угол, можно найти связь между пористостью и просветностью. К сожалению, система уравне­ний является трансцендентной, по­этому связь между пористостью и просветностью задается с помощью приближенных формул

или (1.24)

которые на указанном выше диапазоне пористости укладок шаров дают погрешность менее 2%.

Дальнейшее развитие изучения фиктивного грунта получило в рабо­тах И. Козени и П. Кармана, которые предложили для вычисления прони­цаемости пористых сред формулу

(1.25)

где с — число Кармана. В результате многочисленных экспериментальных исследований было установлено, что для упаковок шаров число Кармана приблизительно равно 5.

Подстановка в равенство (1.25) формулы (1.21) приводит к следую­щему выражению для проницаемости фиктивного грунта:

(1.25)

Для идеального грунта структура порового пространства такова, что допускает аналитическое определение основных фильтрационно-емкостных характеристик. Для представления идеального грунта использовались разные схемы элементарных ячеек - одномерные (рис. 1.12) и трехмерные (рис. 1.13)

Вычислим значения пористости, просветности, удельной поверхно­сти и проницаемости для идеального грунта, образованного тремя систе­мами взаимно перпендикулярных капилляров. Диаметры капилляров при­мем равными d_α =2r_α , а периоды укладки - а_α , α = 1, 2, 3.

Все вычисления можно проделать на элементарной ячейке, образованной тремя взаимно перпендикулярными пе­риодами укладки (рис. 1.13). Введем декартову систему координат, оси кото­рой параллельны осям симметрии ка­пилляров, которые, в свою очередь, па­раллельны периодам укладки. Значения индексов в обозначении диаметров и периодов введем следующим образом: номер а соответствует номеру оси ко­ординат, которой параллельны капил­ляр и период. Тогда для пористости, просветности, удельной поверхности и проницаемости, соответственно, получим следующие значения:

(1.27)

Рис. 1.12. Схема укладки и элементарная ячейка одномерной модели идеального грунта

Рис. 1.13. Элементарная ячейка трехмерной модели идеального грунта

В (1.27) подразумевается суммирование по повторяющимся латин­ским индексам i, греческие индексы α, β, γ образуют циклическую пере­становку из чисел 1, 2, 3. Вычисления пористости, просветности и удель­ной поверхности являются чисто геометрическими и поэтому опускаются. Единственное замечание: при вычислении пористости и удельной поверх­ности считалось, что объем «узла» (пересечения капилляров) мал и им можно пренебречь. Для вычисления проницаемости рассмотрим движение жидкости в капилляре и воспользуемся известными гидравлическими со­отношениями: уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости и фор­мулой Дарси-Вейсбаха для определения потерь напора

Здесь использованы следующие обозначения: h_1-2 - потери напора между сечениями 1 и 2, h_τ — потери напора по длине, λ — коэффициент гид­равлического сопротивления, / - длина капилляра между сечениями 1 и 2.

Так как при фильтрации скорости очень малы, то пренебрежем ско­ростными напорами, и для вычисления коэффициента гидравлического со­противления примем формулу для ламинарного режима течения в круглой трубе

Для упрощения выкладок положим, что капилляры расположены го­ризонтально, то есть z₁ = z₂. Далее можно принять, что потери напора оп­ределяются только потерями на трение по длине, поэтому h_1-2 = h_τ, и после несложных преобразований получим

Разрешая формулу относительно средней скорости жидкости в ка­пилляре (истинной средней скорости движения флюида), будем иметь

Для того чтобы перейти к скорости фильтрации w, воспользуемся определением (1.12) - подсчитаем расход, соответствующий скорости v, а затем отнесем его ко всей площади сечения образца. Умножив v на пло­щадь сечения капилляра πd²/4, получим объемный расход Q, разделив ко­торый на площадь элементарной ячейки а², получим уравнение движения фильтрующейся жидкости

(1.28)

которое, как легко видеть, по форме совпадает с законом Дарси (1.15).

Структура численного коэффициента в правой части (1.28) сохране­на для того, чтобы подчеркнуть физический смысл входящих в него со­множителей. Из закона Дарси в форме (1.15) видно, что результирующий коэффициент представляет собой проницаемость «одномерно­го» идеального грунта. При этом первый множитель d²/32 задает «прово­димость» капилляров, и его вид определяется формой поперечного сечения каналов. Если вместо цилиндрических трубок кругового сечения, которые использовались в приведенном примере, взять плоские щели или капилля­ры эллиптического сечения, то, очевидно, пропорциональность этого мно­жителя квадрату характерного размера сечения сохранится, но будет со­держать иной численный коэффициент. Второй множитель - зада­ет просветность, которая выступает в качестве масштаба осреднения.

Следовательно, проницаемость является комплексной характе­ристикой пористой среды, учитывающей как форму и размеры сечения поровых каналов, так и их концентрацию в среде. Часто в расчетные формулы для определения проницаемости включают коэффициент извили­стости α, который равен отношению длины проводящего порового канала или «истинного» пути флюида в образце (траектории меченой частицы) к длине образца (например, керна). В различных модификациях модели од­номерного идеального грунта α = 1—3.

Рассуждения, при получении соотношения (1.28), проводились для одномерной модели идеального грунта. Очевидно, что они сохранятся и при рассмотрении трехмерной модели, с той лишь разницей, что необхо­димо проставить индексы, для того чтобы указать, какому капилляру соот­ветствует выписанная формула. Равенство (1.28) поэтому примет вид

(1.29)

где индексы α, β, γ образуют циклическую перестановку.

Из равенства (1.29) получаем выражение для коэффициента прони­цаемости в трехмерной модели идеальной пористой среды

(1.30)

Из соотношений (1.27) следует, что m = s₁ + s₂ + s₃ и равенство про­светности и пористости выполняется лишь при s₂ = s₃ = 0, то есть только в случае одномерной модели идеального грунта. Таким образом, равенство

т = s выполняется только для одномерной модели идеального грунта.

При решении прикладных задач часто возникает необходимость оп­ределить характерный линейный размер, который трактуется как эффек­тивный диаметр пор, или диаметр капилляров в модели идеального фунта. В общем виде из (1.30) имеем следующее равенство для определения диа­метра капилляра:

(1.31)

Обычно в формуле (1.31), из-за отождествления просветности и по­ристости, используется пористость

(1.32)

Однако, как было показано, равенство (1.32) справедливо только для одномерной модели, в которой m = s. В трехмерной модели идеального грунта равенство (1.32) не выполняется. Для перехода от просветности к пористости можно ввести структурный коэффициент . Тогда формула (1.31) примет вид

(1.33)

Если в трехмерной модели идеального грунта положить, что выпол­няются равенства d₁ = d₂ = d₃ = d и s₁ = s₂ = s₃ = s, то m = 3s, следова­тельно,

φ = 3 и формула для диаметра капилляра запишется так:

(1.34)

В общем случае значение φ ограничено только снизу - φ ≥ 1, и зна­чение структурного коэффициента может изменять значения эффективного диаметра капилляра в широком диапазоне.

В заключение отметим, что были рассмотрены простейшие струк­турные модели пористых сред, для которых наиболее просто вычислить фильтрационно-емкостные характеристики с помощью геометрических и гидравлических соотношений, не привлекая стохастических и иных мето­дов. В настоящее время для моделирования пористых сред используются разнообразные статистические структурные модели с хаотично уложен­ными сферами, со случайными решетками и со сложной геометрией ка­пиллярных каналов.