III. Измерение тесноты связи и оценка существенности корреляции

На четвёртом этапе корреляционно - регрессионного анализа производят расчёт различных показателей, измеряющих степень тесноты связи.

К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким учёным Г. Фехнером:

, где

n_а- число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений признаков от их среднего значения;

n_в- число несовпадений знаков отклонений.

Коэффициент может принимать значение от -1 до +1.

Если значение всех отклонений совпадут, то n_в=0 и тогда К_ф= +1,что свидетельствует о возможном наличии прямой связи.

Если же знаки всех отклонений будут разными (не совпадут), то n_а=0, а К_ф=-1, что означает наличие обратной связи. При К_ф=0 – связь отсутствует. Чем значение К_ф ближе к 1,тем более тесную связь между признаками можно предполагать.

Рассмотрим расчет коэффициента корреляции знаков (Фехнера) на примере, приведённом в таблице 4. Средний стаж работы рабочих по 20-ти сельскохозяйственным предприятиям составит ( ) 9,95 лет, а средний уровень их заработной платы ( ) – 9525 рублей.

В графах 4 и 5 таблицы 4 указаны знаки отклонений значений признаков от соответствующей средней. Подсчитав число совпадений знаков n_а=16 и число несовпадений знаков n_в=4 (см. графу 6 таблицы 4), рассчитаем коэффициент корреляции знаков (Фехнера):

К_ф=

Таблица 4 – Расчёт данных для вычисления коэффициента корреляции знаков.

Номер предприятия	Производственный стаж работы рабочих, лет хi	Среднемесячная заработная плата рабочих, руб. уi	Знаки отношений индивидуальных значений от средней		Совпадение(а) или несовпадение (в) знаков
			для хi	для уi
1	2	3	4	5	6
1	8	8000	-	-	а
2	8	8500	-	-	а
3	8	7200	-	-	а
4	9	8500	-	-	а
5	9	8000	-	-	а
6	9	8800	-	-	а
7	9	9500	-	-	а
8	9	8200	-	-	а
9	10	9000	+	-	в
10	10	10000	+	+	а
11	10	9200	+	-	в
12	10	10600	+	+	а
13	10	9500	+	-	в
14	11	9000	+	-	в
15	11	12000	+	+	а
16	11	11500	+	+	а
17	11	10000	+	+	а
18	12	12000	+	+	а
19	12	11000	+	+	а
20	12	10000	+	+	а

Полученная величина коэффициента Фехнера свидетельствует о том, что можно предположить наличие прямой, заметной по тесноте зависимости между стажем работы и уровнем заработной платы рабочих сельскохозяйственных предприятий региона.

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции. Он был впервые выведен в начале 90-х гг. 19 века Пирсоном, Эджвортом и Велдоном для определения тесноты и направления связи между двумя корреляционными признаками в случае наличия между ними линейной зависимости и распределения значений факторного признака близкого к нормальному.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчёта данного коэффициента:

;

;

;

;

, где

n – число наблюдений.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значение от -1 до +1.

Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее (теснее) связь между признаками.

Для определения характера связи используют шкалу Чеддока.

Квадрат коэффициента корреляции (r²) носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, обусловленную влиянием вариации факторного признака.

Значимость линейного показателя корреляции проверяется на основе t – критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции в генеральной совокупности нулю (при которой связь отсутствует).

Фактическое значение t - критерия рассчитывается по формуле - для совокупностей n<50 по формуле:

;

при большом числе наблюдений (n>100):

.

Вычисленное значение t – критерия сравнивается с критическим его значением при принятом уровне занятости α и числе степеней свободы k = n-2. Критические значения t находятся по таблице распределения Стьюдента. В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимается равным 0,05 (реже 0,01).

Если расчётное значение t – критерия больше критического, то гипотеза о том, что линейный показатель корреляции в генеральной совокупности равен 0 и лишь в силу случайных обстоятельств он оказался равен проверяемому значению, отклоняется, то есть коэффициент корреляции признаётся значимым, а связь между признаками – статистически существенной.

Используя данные статистического наблюдения, представленные в таблице 1, измерим степень тесноты связи между производственным стажем работы рабочих 20-ти сельскохозяйственных предприятий региона и уровнем их среднемесячной заработной платы. Наличие корреляционной связи между этими признаками было установлено ранее методами построения корреляционной и групповой таблиц.

В первую очередь проверим правомерность использования собственно – корреляционных, параметрических методов изучения связи в данном примере. Для этого осуществим проверку совокупности 20 – ти предприятий на однородность и нормальность распределения по факторному признаку (стажу работы рабочих).

Совокупность признаётся количественно однородной по изменению величины признака, если коэффициент вариации (V_x) находится в пределах 33%.

<33%.

При небольшом числе наблюдений (n<50) для определения формы распределения можно воспользоваться свойством кривой нормального распределения, носящем название «правило трёх сигм», согласно которому в пределах ± должно находиться 68,2%, в пределах ±2 — 95,4%, в пределах ±3 — 99,7% всех вариантов значений признака.

В нашем случае интервалы будут следующие:

1) - ­­­― + 2) -2 ­­­― +2 3) -3 ­­­― +3 8,65―11,25 7,35―12,55 6,05—13,85

Таблица 5 – Проверка совокупности на нормальность распределения с помощью «правила трёх сигм»

Интервалы значений признака-фактора	Число предприятий в интервале	Удельный вес числа предприятий в интервале в общей численности предприятий, %	Удельный вес единицы совокупности в интервале при нормальном распределении, %
8,65–11,25	14	70	68,2
7,35-12,55	20	100	95,4
6,05-13,85	20	100	99,7

Как видно из данных таблицы 5, распределение сельскохозяйственных предприятий региона по величине факторного признака подчиняется закону нормального распределения.

Таким образом, соответствие исходных данных требованиям однородности и нормальности распределения свидетельствует о возможности применения собственно-корреляционных методов изучения связи.

Далее следует решить вопрос о показателе для измерения степени тесноты связи. Ранее на основе графического метода нами было сделано предположение о линейной форме связи между стажем работы рабочих сельскохозяйственных предприятий и уровнем их заработной платы. Следовательно, в качестве показателя для измерения тесноты связи возьмём линейный коэффициент корреляции, исчисляемый по формуле:

; где

, - среднее значение соответственно факторного и результативного признака;

, - среднее квадратическое отклонение факторного и результативного признака.

Таблица 6 – Расчёт данных для вычисления линейного коэффициента корреляции

Номер предприятия	Производственный стаж работы рабочих, лет х	Средняя заработная плата рабочих, тыс. руб. у	Произведение значений признаков ху	Квадрат значения признака
				факторного х2	результативного у2
1	8	8	64	64	64
2	8	8,5	68	64	72,25
3	8	7,2	57,6	64	51,84
4	9	8,5	76,5	81	72,25
5	9	8	72	81	64
6	9	8,8	79,2	81	77,44
7	9	9,5	85,5	81	90,25
8	9	8,2	73,8	81	67,24
9	10	9	90	100	81
10	10	10	100	100	100
11	10	9,2	92	100	84,64
12	10	10,6	106	100	112,36
13	10	9,5	95	100	90,25
14	11	9	99	121	81
15	11	12	132	121	144
16	11	11,5	126,5	121	132,25
17	11	10	110	121	100
18	12	12	144	144	144
19	12	11	132	144	121
20	12	10	120	144	100
Сумма	199	190,5	1923,1	2013	1849,77

Используя данные итоговой строки таблицы 6, рассчитаем данные, необходимые для вычисления коэффициента корреляции:

= 9,95 лет

тыс. руб.

года

тыс. руб.

Теперь исчислим коэффициент корреляции:

Полученная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о наличии высокой по тесноте (см. шкалу Чеддока) прямой (так как r – положительный) зависимости между стажем работы рабочих сельскохозяйственных предприятий и уровнем их заработной платы.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Это означает, что на 70% вариация уровня заработной платы рабочих сельскохозяйственных предприятий зависит от изменения производственного стажа их работы, а на 30% - от изменения прочих факторов.

Проверим коэффициент корреляции на существенность. При этом выдвигаем нулевую гипотезу, согласно которой найденное значение r = 0,812 обусловлено только случайными совпадениями х и у в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю.

Учитывая линейную форму связи между признаками и малый объём выборочной совокупности, для оценки существенности коэффициента корреляции используем t – критерий Стъюдента:

t_расч.=

По таблице распределения Стъюдента (см. приложение А) для числа степеней свободы k=n-2=20-2=18 и уровня значимости =0,05 находим, что t_табл.=2,101

Так как t_расч.>t_табл., то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции признаётся существенным. Это означает, что в генеральной совокупности предприятий с вероятностью 95% (1- ) существует прямая по направлению, сильная (высокая) по тесноте зависимость между стажем работы рабочих и уровнем их заработной платы.

При наличии криволинейной зависимости коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен нулю, поэтому в этом случае используется более универсальный показатель измерения тесноты связи (то есть он может использоваться и при линейной, и при нелинейной форме): корреляционное отношение.

Расчет корреляционного отношения основан на использовании теоремы (правила) сложения дисперсий:

Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть колеблемости результативного признака, которая складывается под влиянием изменения факторного признака, положенного в основание группировки:

Средняя из внутригрупповых дисперсий оценивает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием других, прочих, «случайных» причин:

, где

-дисперсия результативного признака в соответствующей группе;

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием всех факторов:

Теоретическое корреляционное отношение или индекс корреляции определяется по формуле:

Факторная дисперсия характеризует колеблемость результативного признака под влиянием только фактора х, входящего в уравнение регрессии;

случайная дисперсия характеризует колеблемость результативного признака под влиянием прочих факторов, не входящих в уравнение регрессии.

,

Расчёт дисперсий по этим формулам, требующий вычисление всех теоретических значений У_х, является очень трудоёмким. Поэтому для вычисления факторной дисперсии часто используют другие формулы, не требующие вычисления всех теоретических значений У_х. Они различаются в зависимости от формы парной регрессии.

Для линейной регрессии (уравнения прямой линии у_x=a + bх):

_;

для двучленной гиперболической регрессии (уравнения гиперболы у_х= ):

для параболической регрессии (уравнение параболы 2-го порядка у=а+вх+сх²):

Для оценки значимости эмпирического корреляционного отношения и индекса корреляции используется F – критерий Фишера, вычисленный по формуле:

, где

n - число наблюдений;

m – число параметров в уравнении регрессии.

Расчётное значение F – критерия сравнивается с критическим (табличным) для принятого уровня значимости и чисел степеней свободы k₁=m-1 и k₂=m-n.

Если F_расчёт>F_табл., то величина корреляционного отношения или индекса корреляции признаётся значимой, а связь между признаками существенной.

По данным статистического наблюдения за результатами деятельности 15-ти сельскохозяйственных предприятий района, специализирующихся на производстве зерна, проведём корреляционный анализ зависимости производственной себестоимости 1ц зерна (результативный признак) от объема его производства (факторный признак).

В таблице 7 представлены проранжированные значения факторного признака и соответствующие им значения результативного признака.

Таблица 7 — Исходные данные для корреляционного анализа

Номера предприятий	Объём производства зерна, тыс. ц.	Производственная себестоимость 1 ц. зерна, руб.
1	4,8	144,58
2	5,0	142,15
3	5,2	123,17
4	5,7	135,74
5	6,0	121,8
6	6,3	108,65
7	6,4	116,08
8	7,0	105,47
9	7,2	122,05
10	7,6	118,14
11	8,1	101,50
12	9,2	103,74
13	9,8	93,8
14	10,5	99,6
15	12,0	92,25

Проверка исходных данных на однородность и нормальность распределения, произведённая описанными выше методами, дала и в этом случае положительный результат.

Для выявления наличия и предварительного выбора формы связи между изучаемыми признаками используем графический метод.

Рисунок 2 – Зависимость производственной себестоимости 1 ц зерна от объема его производства

По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие между признаками обратной криволинейной, вероятно, гиперболической формы связи, так как с увеличением объема производства зерна наблюдается снижение уровня его себестоимости.

К выводу о криволинейной гиперболической зависимости между объёмом производства продукции и её себестоимостью приводит так же и теоретический, логический анализ экономической сущности этих признаков.

Себестоимость единицы продукции рассчитывается путём деления общей суммы затрат на производство данной продукции на её количество, объём. Поэтому общая сумма затрат на производство равна произведению себестоимости единицы продукции (y) на объём продукции (x), то есть yx. В то же время затраты на производство можно условно подразделить на две части: 1)затраты, которые возрастают более или менее пропорционально увеличению объёма произведенной продукции – условно-переменные расходы (затраты на удобрения, средства защиты растений, горюче-смазочные материалы, запасные части, оплата труда основных производственных рабочих и т.п.); 2)затраты, независящие от изменения объёма продукции, - условно-постоянные расходы (амортизация основных средств, арендная плата за технику, оплата труда инженерно-технических работников, общепроизводственные и общехозяйственные расходы и др.)

Обозначим переменные расходы в расчёте на единицу продукции через a, тогда их общая сумма составит ах. Общую сумму условно-постоянных расходов обозначим в. Тогда общая себестоимость продукции составит

ух = ах+в, откуда себестоимость единицы продукции будет равна: у_х=а+

Мы получили уравнение двучленной гиперболы.

Так как связь не линейна, в качестве показателя для измерения степени тесноты связи берём индекс корреляции, исчисляемый по формуле:

Для расчёта факторной дисперсии, характеризующую вариацию результативного признака под влиянием только признака –фактора, необходим расчёт теоретических, то есть вычисленных по уравнению регрессии, значений результативного признака:

, где

у_х-теоретические значения результативного признака;

-среднее значение результативного признака в совокупности;

n-число наблюдений.

Однако, ввиду трудоёмкости расчёта факторной дисперсии по этой формуле, воспользуемся другой формулой, не требующей вычислений у_х:

, где

а и в – параметры уравнения гиперболы.

Для нахождения параметров уравнения гиперболы используем метод наименьших квадратов, при котором решается следующая система нормальных уравнений:

Построим вспомогательную таблицу.

Таблица 8 — Расчёт сумм для определения параметров уравнения гиперболы

Номер предприятия	Объём производства зерна тыс.ц. х	Себестоимость 1ц зерна руб. у				У2
1	4,8	144,58	0,208	0,0433	30,12	20903,4
2	5,0	142,15	0,200	0,0400	28,43	20206,6
3	5,2	123,17	0,192	0,0368	23,69	15170,8
4	5,7	135,74	0,175	0,0306	23,81	18425,3
5	6,0	121,8	0,167	0,0279	20,30	14835,2
6	6,3	108,65	0,159	0,0256	17,25	11804,8
7	6,4	116,08	0,156	0,0243	18,14	13474,6
8	7,0	105,47	0,143	0,0204	15,07	11123,9
9	7,2	122,05	0,139	0,0193	16,95	14896,2
10	7,6	118,14	0,132	0,0174	15,54	13957,1
11	8,1	101,50	0,123	0,0151	12,53	10302,3
12	9,2	103,74	0,109	0,0119	11,28	10762,0
13	9,8	93,8	0,102	0,0104	9,57	8798,4
14	10,5	99,6	0,095	0,0090	8,63	8208,4
15	12,0	92,25	0,083	0,0069	7,69	8510,0
Сумма	110,8	1719,72	2,183	0,3386	259	201379

Полученные в итоговой строке таблицы 8 суммы подставим в систему уравнений:

Разделим первое и второе уравнение на множитель при параметре а. Тогда получим:

Из второго уравнения вычтем первое уравнение:

4=0,0096в

Отсюда,

Подставляя в одно из уравнений системы полученное значение параметра “в”, найдём значение параметра “a”.

Таким образом, синтезированная модель регрессии, выражающая взаимосвязь между объёмом производства зерна и его себестоимостью, имеет вид: . Следовательно, в среднем по 15 –ти сельскохозяйственным предприятиям переменные расходы в расчёте на 1 центнер зерна составляют 54 рубля, а общая сумма постоянных расходов 416,7 тыс. рублей. Чем больше объём производства зерна, тем меньшая часть этой суммы падает на единицу продукции, в результате чего зависимость между себестоимостью 1 ц зерна и объёма его производства является обратной.

Теперь вернёмся к расчёту факторной дисперсии:

(92864,88+107925,3):15-

-(144,648)²=13386,012-13144,163=241,849

Найдём величину общей дисперсии:

=13425,266-13144,163=281,103

Дальше рассчитаем индекс корреляции:

=0,927

Индекс детерминации равен:

Как видно из значений индексов корреляции и детерминации связь между объёмом производства и производственной себестоимостью зерна в 15-ти сельскохозяйственных предприятиях района весьма высокая по тесноте. 86% общей вариации себестоимости 1 ц зерна объясняется вариацией объема его производства.

Произведём оценку значимости индекса коррекции с использованием F-критерия Фишера.

Вычислим расчётное значение F-критерия:

, где

m-число параметров в уравнении регрессии.

По таблице F-распределения (см. приложение Б) при заданном уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы k₁=m-1=2-1 и k₂=n-m=15-2=13 определим критическое значение F-критерия, которое равно 4,67.

Так как F расч. > F крит., индекс корреляции признаётся значимым ,а связь между изучаемыми признаками существенной.

Возвращаясь к вопросу о выборе формы связи, определённый интерес представляет сопоставление величины линейного коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

Когда связь между признаками уклоняется от линейной формы связи, но  и r отличаются по величине, причём  всегда больше ∣r∣.

При проверке возможности использования линейной функции в качестве формы связи определяют разность квадратов ² - r², и если она меньше 0,1, то считается возможным применять уравнение прямой линии.

Однако более эффективно для проверки гипотезы о линейной зависимости использовать величину:

W² = ,

которая подчиняется закону F-распределения с числом степеней свободы числителя m-2 и знаменателя n-m. Находят табличное значение F-критерия с заданным уровнем значимости и соответствующим числом степеней свободы.

Если W²>F_таб, то гипотезу о линейном виде регрессии можно считать статистически необоснованной. Соответственно, неравенство W²<F_таб, не позволяет отклонить гипотезу о линейности формы связи.

До этого нами были рассмотрены собственно-корреляционные, параметрические методы изучения связей.

В случаях, когда анализируется взаимосвязь между количественными признаками, форма распределения которых отличается от нормальной, а также между качественными признаками, используются так называемые непараметрические методы. В основу этих методов положен принцип нумерации значений признаков статистического ряда.

Значения факторного признака записываются в возрастающем или убывающем порядке, а затем ранжируются соответствующие им значения результативного признака. При этом каждой единице в упорядоченном ряду присваивается порядковый номер, который будет её рангом.

В случаях наличия одинаковых вариантов каждому из них присваивается среднее арифметическое значение их рангов.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла.

Коэффициент корреляции рангов (Спирмена) определяется по формуле:

 = , где

d – разность между рангами соответствующих величин двух признаков;

n – число единиц в ряду (число пар рангов).

Коэффициент корреляции рангов принимает любые значения от -1 до +1. Если все ранги строго изменяются в одном и том же порядке, то d=0, а =1. Если же ранги изменяются строго в противоположных направлениях, то = -1. Значение =0 характеризует отсутствие связи.

Значимость коэффициентов корреляции рангов для совокупностей небольшого объёма (n30) проверяется по таблице предельных значений коэффициента корреляции рангов Спирмена при заданном уровне значимости  и определённом объёме совокупности.

Значимость  может быть проверена также на основе t – критерия Стьюдента. Расчётное значение критерия определяется по формуле

t_расч⁼ 

Значение коэффициента корреляции считается статистически существенным, если t_расчt_табл при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы k=n-2.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла рассчитывается по формуле:

= , S=P+Q

n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по результативному признаку.

Расчёт данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1. ранги факторного признака располагаются в порядке возрастания;

2. ранги результативного признака располагаются в порядке, соответствующем рангам признака х;

3. для каждого ранга результативного признака определяется сколько чисел, находящихся справа от него (следующих за ним) имеют величину ранга, превышающую его величину. Суммируя полученные таким образом числа, получаем слагаемое P, которое можно рассматривать как меру соответствия последовательностей рангов по x и y, и которое учитывается со знаком «+»;

4. для каждого ранга y определяется число, следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «-»;

5. определяется сумма баллов S=P+Q

Коэффициент Кендалла также изменяется в пределах от -1 до +1. При достаточно большом числе наблюдений между коэффициентами корреляции рангов Спирмена и Кендалла существует следующее соотношение:  . Существенность коэффициента корреляции рангов Кендалла проверяется при выбранном уровне значимости  при больших n по формуле:

t_a , где

t_a – коэффициент, определяемый по таблице нормального распределения.

Связь между признаками можно считать существенной, если коэффициенты Спирмена и Кендалла больше ∣0,5∣.

Определим степень тесноты связи между суммой затрат на рекламу сельскохозяйственной продукции и размером прибыли от ее продаж по данным десяти сельскохозяйственных предприятий района.

Таблица 9 – Исходные данные для корреляционного анализа

Номер предприятия	Затраты на рекламу сельскохозяйственной продукции, млн. руб.	Прибыль от продажи сельскохозяйственной продукции, млн. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3,6 4,6 17,2 2,6 7,0 7,6 9,0 11,6 7,4 13,0	35 82 54 91 123 148 165 180 200 230

Для проверки качественной однородности совокупности данных предприятий рассчитаем коэффициент вариации по факторному признаку.

Из расчетов видно, что V_x>33%, что свидетельствует о неоднородности совокупности, а следовательно, о невозможности применения собственно-корреляционных методов изучения связи между признаками и, соответственно, о необходимости использования непараметрических методов.

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов ( коэффициент Спирмена) по формуле:

 = ,

где d² – квадрат разности рангов, n – число наблюдений.

Для определения рангов каждого предприятия по факторному и результативному признаку проведем ранжирование, т.е. расположим предприятия в порядке возрастания значений признаков.

Таблица 10 – Ранжированные ряды распределения предприятий по затратам на рекламу и прибыли от ее продажи

Номер предприятия	Сумма затрат на рекламу продукции, млн. руб. x	Ранг предприятия Rx	Номер предприятия	Прибыль от реализации продукции, млн. руб. y	Ранг предприятия Rx
4 1 2 5 9 6 7 8 10 3	2,6 3,6 4,6 7,0 7,4 7,6 9,0 11,6 13,0 17,2	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 3 2 4 5 6 7 8 9 10	35 54 82 91 123 148 165 180 200 230	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Наиболее высокие ранги присваиваются предприятиям с наибольшими затратами на рекламу и наибольшим размером прибыли.

В таблице 11 произведем сравнение рангов каждого предприятия по факторному и результативному признаку.

Таблица 11 – Расчет данных для вычисления коэффициента Спирмена

Номер предприятия	Сравнение рангов		Разность рангов d=Rx-Ry	Квадрат разности рангов d2
	Rx	Ry
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2 3 10 1 4 6 7 8 5 9	1 3 2 4 5 6 7 8 9 10	1 0 8 -3 -1 0 0 0 -4 -1	1 0 64 9 1 0 0 0 16 1
Сумма	-	-	-	92

Подставим полученные данные в формулу коэффициента Спирмена:

=

Таким образом, значение коэффициента корреляции рангов показывает умеренную по тесноте связь между затратами на рекламу сельскохозяйственной продукции и прибылью от ее продажи.

Проверим значимость данного показателя. Для этого воспользуемся таблицей предельных значений коэффициентов корреляции Спирмена при условии верности нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при заданном уровне значимости и определенном объеме выборочных данных ( см. приложение B).

По этой таблице находим, что при объеме выборки в 10 единиц (n=10) величина =0,4424 не является результатом случайных совпадений рангов предприятий только при =0,20, когда критическая величина рангового коэффициента корреляции, равна расчетной – 0,4424.

При меньших значениях уровня значимости фактическое значение коэффициента меньше критических значений. Так, при =0,10 =0,5515, при =0,05 =0,6364, при =0,01 =0,7818.

Таким образом, нулевая гипотеза может быть отвергнута с вероятностью не более 80% (1-).

Определим степень тесноты связи между затратами на рекламу и размером прибыли от ее продажи с помощью коэффициента корреляции рангов Кендалла.

Для этого ряд рангов факторного признака упорядочим, приводя его к ряду натуральных чисел. Затем ранги результативного признака расположим в порядке, соответствующему рангам факторного признака. Для этого воспользуемся данными таблицы 10.

Так, первый ранг в ряду факторного признака имеет предприятие №4, для которого ранг по результативному признаку равен 4; второй ранг в ряду факторного признака имеет предприятие №1, для которого ранг по результативному признаку равен 1 и т.д.

Оформим данное упорядочение в виде таблицы.

Таблица 12 – Упорядоченные ряды рангов по факторному и результативному признаку

Ранг по факторному признаку	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ранг по результативному признаку	4	1	3	5	9	6	7	8	10	2

Для каждого ранга результативного признака определим сколько следующих за ним значений рангов превышают его величину. Так, например, первому значению в последовательности рангов результативного признака, т.е. числу 4, соответствует 6 чисел (5,9,6,7,8,10), которые превышают ранг 4; второму значению 1 соответствует 8 чисел (3,5,9,6,7,8,10,2), третьему значению 3 соответствует 6 чисел (5,9,6,7,8,10) и т.д.

Суммируя полученные таким образом числа, получаем слагаемое P, которое рассматривают как меру соответствия последовательности рангов результативного признака последовательности рангов факторного признака. Для нашего примера

P=6+8+6+5+1+3+2+1+0=32.

Далее для каждого ранга результативного признака определим число следующих за ним рангов, меньших его величины. Эти величины берем со знаком минус. Так, первому значению в последовательности рангов результативного признака 4 соответствует 3 числа (1,3,2), которые меньше его; второе значение 1 не имеет рангов, меньших его и т.д.

Суммируя эти числа, получаем слагаемое Q, которое характеризует меру несоответствия последовательности рангов результативного признака последовательности рангов факторного признака.

Q=-3-0-1-1-4-1-1-1-1=-13

Суммируя величину P и Q, получаем величину S (S=P+Q=32-13=19), которая используется в формуле коэффициента Кендалла:

Это значение свидетельствует о наличии умеренной по тесноте связи между затратами на рекламу сельскохозяйственной продукции и размером прибыли от ее продажи.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативного, т.е. качественно отличных друг от друга (например, окончившие вуз - не окончившие, повысившие квалификацию – не повысившие, участвующие в общественной жизни – не участвующие и т.д.), используют коэффициенты ассоциации (Д.Юла) и контингенции (К.Пирсона). Для их вычисления строится таблица сопряженности или «таблица четырех полей», частоты которой обозначаются a,b,c,d.

а	b	a+b
с	d	c+d
a+c	b+d	a+b+c+d

Коэффициент ассоциации определяется по формуле:

K_A =

В случаях, когда хотя бы один из четырех показателей в таблице «четырех полей» отсутствует, величина K_A=1, что дает преувеличенную оценку степени тесноты связи между признаками, и предпочтение следует отдать коэффициенту контингенции, который определяется по формуле:

K_K =

Информационной базой для такого анализа служат данные различных социологических обследований на базе анкетирования. Например,

Группы студентов	Средний балл успеваемости по сравнению с предыдущей сессией		Всего
	не изменился и возрос	снизился
Занимавшиеся самостоятельной работой	78	22	100
Не занимавшиеся самостоятельной работой	32	68	100
Итого	110	90	200

K_A =

K_K =

Таким образом, между занятием студентами самостоятельной работой и успеваемостью наблюдается достаточно заметная положительная связь.