5. Додавання обертань твердого тіла навколо паралельних осей

Це питання займає особливе місце в темі, яка розглядає складний рух твердого тіла, бо додавання його обертань навколо паралельних осей реалізується в різних механізмах будівельних та меліоративних машин. Наприклад, механізм повороту баштового крана має планетарний редуктор з трьома передачами, який при малій масі і невеликих габаритах забезпечує передаточне число 258.

Задачі на цю тему розв'язуються методами плоского руху (див. розділ 3) або способом зупинки (спосіб Вілліса), коли мова йде про визначення кутових швидкостей різних ланок механізмів. Якщо ж необхідно знайти лінійні швидкості і прискорення окремих точок механізму, то використовують або теорію плоского руху (розділ 3), або теорію складного руху точки (розділ 4).

Розглянемо три приклади.

ПРИКЛАД 5.1. Редуктор швидкостей (рис. 5.1) складається з нерухомої шестірні 1, двох бігаючих шестерень (сателіта) 2 і 3 і шестірні 4, яка жорстко насаджена на ведений вал В. Осі шестерень 2 і 3 розташовані на кривошипі (водилі), який жорстко зв’язаний з ведучим валом А. Визначити кількість обертів за хвилину веденого вала В і шестерень редуктора, якщо ведучий вал робить n_А = 1200 об/хв, а шестірні мають відповідно z₁ = 180, z₂ = 60, z₃ = 40, z₄ = 80 зубців.

Розв’язання. Розв’яжемо задачу методом “зупинки”. Шестірні редуктора, який зображено на рис. 5.1 (“а” – схема редуктора, “б” – вид з боку ведучого вала А) беруть участь у відносному обертанні (по відношенню до кривошипа ДЕ) навколо власних осей і в переносному обертанні з кривошипом навколо його осі.

Для перетворення зазначеної передачі у просту зубчасту передачу необхідно зупинити кривошип разом з ведучим валом А. Надаємо подумки всім ланкам редуктора обертання з кутовою швидкістю _А , яка за величиною дорівнює кутовій швидкості кривошипа, але напрямленій у протилежний бік. Тоді кривошип з валом А зупиниться, а решта ланок будуть обертатися з кутовими швидкостями _j – _А навколо власних осей. Для розв’язання задачі складемо табл. 5.1.

Таблиця 5.1

Ланки редуктора	шестірні			кривошип (вал А)
	1	2 - 3	4 (вал В)
Кутова швидкість до “зупинки” кривошипа	1= 0	2 = 3	4 = В	А
Кутова швидкість після “зупинки” кривошипа	1 – А	2 – А	4 – А	0

Складемо передаточні співвідношення між рядом послідовних пар шестерень після зупинки кривошипа (водила), використовуючи (2.14):

, . (5.1)

Знак “+” у першому співвідношенні поставлений тому, що шестірні 1 і 2 перебувають у внутрішньому зачепленні; знак “–” у другому співвідношенні відповідає зовнішньому зачепленню шестерень 3 та 4 (рис. 5.1).

З першого співвідношення (5.1) маємо (n₁ = 0, z₂ / z₁ = 1/3), що n₂ = -3 n_А + n_А = -2400 об/хв. Підставляємо n₃ = n₂ = –2400 об/хв та z₄ / z₃ = 2 у друге співвідношення (5.1) і знаходимо n₃ – n_А = –2 (n₄ – n_А), звідки n₄ = n_В = (n_А – n₃) / 2 + n_А = 3000 об/хв. Знак “–” свідчить про те, що сателіт 2-3 обертається за годинниковою стрілкою, якщо дивитися з боку ведучого валу А; тоді ведений вал В разом з шестірнею 4 обертається проти годинникової стрілки.

Перевіримо отримані результати, використовуючи теорію плоского руху: спарені шестірні 2 та 3 рухаються плоскопаралельно. Для шестірні 2 МЦШ Р знаходиться в точці дотику шестерень 1 та 2 (рис. 5.1, б). Маємо з (3.4), що ₂ = ₃ = V_Д / ДР = V_С / CP, але V_Д = ₁ ОД = ₁ (r₃ + r₄), бо ₁ = _А, які відомі за умовою задачі. Таким чином, V_С = V_Д СР / ДР = ₁(r₃+ r₄) (r₂ + r₃) / r₂. З іншого боку, точка С належить шестірні 4, тому V_С = ₄ r₄, звідки

або враховуючи (2.14)

об/хв,

об/хв.

Якщо стати в точку Р (рис. 5.1, б) і подивитися на вектор , то приходимо до висновку, що шестірні 2 та 3 обертаються за годинниковою стрілкою. Маємо повний збіг обох розрахунків.

Відповідь: n₂ = n₃ = -2400 об/хв, n₄ = n_В = 3000 об/хв.

ПРИКЛАД 5.2. Знайти кутові швидкості шестерень 2 і 3 (рис. 5.2), якщо кривошип ОВ обертається навколо осі О нерухомої шестірні 1 з кутовою швидкістю, яка відповідає n_o об/хв і несе на собі осі шестерень 2 та 3. Відомо, що R₁ = 0,4 м, R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,2 м, r₃ = 0,1 м, n₀ = 30₀/ об/хв, де ₀ – стала величина.

Розв’язання почнемо з кінематичного аналізу руху окремих ланок планетарного механізму (рис 5.2): шестірня 1 нерухома; кривошип ОВ обертається навколо осі О; шестірня 2 бере участь в складному русі, який складається з двох обертань навколо паралельних осей – у відносному обертанні (по відношенню до кривошипа ОВ) навколо осі А і в переносному обертанні з кривошипом навколо його осі О; аналогічно і шестірня 3 бере участь в складному русі – обертання навколо осі В і обертання разом з кривошипом.

Визначимо кутові швидкості шестерень 2 і 3, застосовуючи метод “зупинки”. Надамо подумки всій системі додаткового переносного руху з кутовою швидкістю, яка відповідає (–n₀) об/хв. Після цього кривошип ОВ “зупиниться” і ми дістанемо просту зубчасту передачу (рис. 2.3, а, б). Кутові швидкості шестерень тепер стануть іншими: _j – _ОВ­­ (j = 1, 2, 3), де (див. 2.13). Використовуючи (2.14), маємо:

, . (5.2)

Тут знаки “–” свідчать про те, що відповідні шестірні перебувають в зовнішньому зачепленні (рис. 2.3, б). Підставимо у (5.4) відомі величини

, ,

звідки ₂ = 3₀ , ₃ = –5₀.

Перевіримо отримані результати за теорією плоского руху твердого тіла (див. розділ 3). З рис. 5.2 видно, що шестірні 2 та 3 рухаються плоскопаралельно. Для шестірні 2 МЦШ Р знаходиться в точці дотику шестерень 1 та 2. Очевидно (3.5), що ₂ = V_A / AP₂, де V_A = _ОВ ОА = ₀(R₁ + + r₂) = 0,6₀; тоді ₂ = V_A / r₂ = 3₀ .

Щоб знайти МЦШ для шестірні 3 треба знати швидкості двох точок цієї шестірні. Точка В належить не тільки шестірні 3, але й кривошипу ОВ, тому V_В = _ОВ ОВ = ₀(R₁ + r₂ + R₂ + r₃) = ₀ м/с; вектор і напрямлений в бік обертання кривошипа ОВ. Знаючи ₂, знаходимо швидкість точки К: це точка дотику шестерень 2 та 3. Маємо:

V_K = ₂ КР₂ = ₂(r₂ + R₂) = 1,5₀ м/с.

Вектор і напрямлений в бік обертання шестірні 2. Вектори та паралельні між собою, для знаходження МЦШ Р₃ маємо окремий випадок який зображено на рис. 3.5, г. Відповідно до цього рисунку знаходимо положення Р₃ для шестірні 3 (рис. 5.2). Використовуючи співвідношення (3.4), запишемо:

або ,

звідки ВР₃ = 0,2 м. Остаточно маємо ₃ = V_В / ВР₃ = ₀ / 0,2 = 5₀. Як бачимо, результати повністю збігаються і за величиною, і за напрямом обертання (рис. 5.2).

Відповідь: _{2 ­}= 3_0­, _{3 ­}= –5₀ (знак “мінус” свідчить про те, що шестірня 3 обертається за годинниковою стрілкою).

ПРИКЛАД 5.3. Виходячи з умов прикладу 5.2, визначити лінійні швидкість та прискорення точки D (рис. 5.2) .

Розв’язання. Визначимо лінійні швидкість та прискорення точки D, застосовуючи теорію плоского руху твердого тіла (розділ 3).

Точка D належить шестірні 3, яка рухається плоскопаралельно. Кутову швидкість шестірні 3 визначили в прикладі 5.2, тому маємо (3.4):

м/c.

Напрям швидкості зображено на рис. 5.2.

Для знаходження прискорення використаємо рівність (3.6), прийнявши за полюс точку В:

,

де , бо кривошип ОВ обертається рівномірно. Маємо:

м/с²,

м/c².

Напрями векторів та зображено на рис 5.3, а. Ці вектори взаємноперпендикулярні, тому

Такі самі результати можна було отримати, використовуючи теорію складного руху точки (розділ 4). Зв’яжемо рухомі осі координат Bxyz з кривошипом ОВ, а нерухомі Ox₁y₁z₁ – з віссю О. Тоді обертання точки D навколо центра В є відносним рухом, а обертання кривошипа ОВ – переносним, а рух D по відношенню до осей Ox₁y₁z₁ – абсолютним. За теоремою (4.1) маємо:

,

де (5.3)

_r = ₃ = -5₀, _e = _OB = ₀.

Зауважимо, що відносна кутова швидкість _r = ₃ = -5₀, бо обертання йде за годинниковою стрілкою; щоб не припускатися помилок, то краще знаходити ₃ методом “зупинки”, а для збереження точності корінь у виразі (5.3) краще не добувати. Вектори та зображені на рис 5.3, б. Користуючись виразом (4.3), маємо:

(м/c),

де , ,

Прискорення а_D визначаємо за теоремою Коріоліса (4.4), бо переносний рух є обертальний рух кривошипа ОВ навколо осі О:

, (5.4)

де , бо кривошип ОВ обертається рівномірно. Обчислимо:

Вектори на рис 5.3, б напрямлені за правилом для нормального прискорення (див. п. 1.3); вектор напрямлений за правилом Жуковського (п. 4.4). Проектуючи (5.4) на осі координат Х, Y (рис 5.3, б), маємо:

або чисельно і остаточно

(м/с²).

Зауважимо, що точність збереглася завдяки тому, що ми не добували корінь квадратний при обчисленні DO, та .

Відповідь: V_D = 1,12₀ м/с, a_D = 2,69₀² м/с².