8. Рівняння лагранжа другого роду

8.1 Перш ніж користуватися рівняннями Лагранжа другого роду

(j=1,2,...k), (8.1)

треба добре розібратися з узагальненими координатами q. (і як наслідок, з узагальненими швидкостями q_j), їх вибором, бо вдалий вибір забезпечує просте розв'язання задачі; треба добре засвоїти практичне обчислення узагальнених сил

(j=1,2,...k), (8.2)

де k - число ступенів вільності системи.

32

Велика перевага рівнянь Лагранжа другого роду в тому, що при наявності ідеальних в'язей, в них не входять реакції в'язей. Крім того, основна перевага рівнянь Лагранжа порівняно з елементарними способами полягає в тому, що для них існує загальна методика розв'язування задач динаміки.

Тому, якщо при розв'язуванні задач з динаміки немає чіткого застосування загальних теорем динаміки (2.1), (2.2), (4.1), то слід звернутися до рівнянь Лагранжа другого роду.

8.2 Складання рівнянь Лагранжа другого роду при розв'язуванні задач з механіки рекомендуємо робити в такій послідовності:

• визначити число ступенів вільності k системи та вибрати узагальнені координати;

• зобразити на схемі всі діючі сили( якщо в'язі ідеальні - то тільки задані сили);

• визначити кінетичну енергію системи як функцію узагальнених координат та швидкостей;

• обчислити похідні в рівняннях (8.1);

• визначити узагальнені сили (8.2) відповідно до вибраних узагальнених координат;

• результати обчислень підставити в (8.1);

• з отриманих рівнянь при відомих силах знаходять закон зміни узагальнених координат або при заданому законі руху визначають сили, що викликають цей рух.

Приклад 8.1. На ланку 1 підйомного механізму (рис. 8.1 а), який знаходився в початковий момент часу в стані спокою, діє крутний момент (Н/м). Під час руху механізму в ланці 2 виникає момент сил опору Нм. Знайти, як змінюється кутова швидкість ланки 1 з часом, якщо m₁ =100кг, m₂ = 200кг, m₃ = 80кг, m₄ = 440кг, , , м, . Шестірню 1 вважати тонким однорідним диском , а маса блока 3 рівномірно розподілена по його ободу.

Розв'язання. Розглядувана система має один ступінь вільності, за узагальнену координату доцільно прийняти кут повороту шестірні 1 , тоді . Рівняння Лагранжа другого роду (3.57) при k=1 набуває вигляду

. (8.3)

Обчислимо кінетичну енергію механічно! системи

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ (8.4) (3.60)

33

я к функцію та . З рис. 8.1 видно, що ланки 1 та 2 обертаються навколо своїх осей, блок 3 рухається плоскопаралельно, а вантаж 4 - поступально; обчислення Т₁ і Т₂ ведемо за формулою (4.3), Т₃ - (4.4) і Т₄ - (4.2). Маємо :

,

де , як для тонкого однорідного диска;

,

де ; ,

звідки ;

= ,

де - як для тонкого однорідного кільця;

34

, бо r₂= 2R₃ зa умовою задачі;

(студенти наводять розрахунки повністю);

.

У відповідності з (8.4) маємо:

.

Обчислимо похідні, що входять до (8.3):

; ; ,

бо .

Знайдемо узагальнену силу : для цього на рис. 8.1,б зображаємо активні сили та моменти( , , , , М, ), надаємо системі можливе переміщення і користуємось виразом (8.2). Маємо

.

Очевидно, що , бо ; , бо . Остаточно маємо:

(Нм).

Таким чином остаточно маємо (8.3)

або при

.

Відомо, що або . Інтегруючи, маємо:

,

але при за умовою задачі, тому С=0 і остаточно отримаємо .

Це і є закон зміни кутової швидкості шестірні 1 з часом.

35