6.2. Решение типовых задач

6.1. Имеются следующие данные о выпуске легковых автомобилей в России (табл. 6.13).

.Определить показатели динамики выпуска легковых автомобилей от года к году и средние за весь анализируемый период.

Решение

Расчет показателей динамики от года к году представлен в габл. 6.14.

Средний уровень интервального ряда динамики:

6.2. Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.) (табл. 6.15).

Определить абсолютное и относительное изменение среднегодовой стоимости имущества предприятия в 2005 г, по сравнению с 2003 и 2004 гг.

Решение

Поскольку промежутки времени между датами равны, средний уровень моментного ряда динамики исчисляется по формуле

В 2005 г. среднегодовая стоимость имущества предприятия возросла по сравнению с 2003 г. на 20,375 млн. руб. (А — 87,375 — 67), или на 30,4% (К_р = 87,375 : 67 = 1,304), и по сравнению с 2004 г. - на 13,125 млн. руб., или на 17,7%.

6.3. На 1 января 2006 г. остаток составлял: по вкладу № 1 — 500 тыс. руб., по вкладу № 2 — 700 тыс. руб. В течение I квартала имели место следующие изменения величины остатков вкладов, руб. (табл. 6.16),

Определить, на сколько тысяч рублей и процентов различаются средние остатки по вкладам за I квартал.

Решение

Для определения среднего уровня моментного ряда при наличии исчерпывающих данных об его изменении используется формула

Средние остатки по вкладам составляют, тыс. руб.:

Следовательно, средний остаток вклада № 2 больше на 133,3 тыс. руб., или на 19% (833,3 : 700 = 1,19, или 119%).

6.4. Количество дорожно-транспортных происшествий (ДТП), совершенных водителями в регионе, увеличилось в 2001 г. по сравнению с 1996 г. на 2 тыс., или на 4%; в 2003 г. по сравнению с 2001 г. их число возросло на 30%, а в 2006 г. по сравнению с 2003 г. - на 2%.

Определите количество ДТП в 1996, 2001, 2003 и в 2006 гг.

Решение

Уровень ДТП в 1996 г. определяется по формуле

Далее, недостающие уровни 2001, 2003 и 2006 гг. определим, зная темпы роста для соответствующего периода, тыс. ед.:

6.5. Имеются следующие данные об объеме пассажирооборота по автобусным предприятиям города (табл. 6.18).

Вычислить и проставить в таблицу уровни ряда динамики и недостающие показатели динамики.

Решение

Решение задачи целесообразно начать с определения отсутствующих в таблице уровней ряда динамики, используя для этого данные об уровне предыдущего года и об одном из известных показателей динамики.

Уровень 2002 г. можно найти, используя уровень 2001 г. и коэффициент роста для 2002 г.:

Для определения уровня 2005 г. исходим из того, что в 2006 г. каждый процент прироста составлял 1,75 млрд. пасс..-км. Следовательно, базисный уровень, т. е. уровень 2005 г., принимаемый за 100%, составил 175 млрд. пасс.-км (т. е. в 100 раз больше абсолютного значения 1% прироста): у₂оо5 ⁼ 175,0 млрд. пасс.-км. Уровень 2006 г.:

Далее выполняется расчет всех недостающих показателей динамики. Ниже представлена полностью заполненная табл. 6.19.

6.6. Численность населения региона возросла за период с 01.01.2004 по 01.01.2006 г. на 4,2%, при этом удельный вес мужского населения за этот период увеличился с 42,1 до 44,3%.

Определить показатели динамики численности мужского и женского населения региона.

Решение

При решении данной задачи исходим из следующих соотношений:

Изменение численности населения характеризуется коэффициентами роста К_р. По условию задачи К_р общей численности населения за рассматриваемый период составил:

Коэффициент роста удельного веса мужского населения:

Аналогично находим К_р удельного веса женского населения:

На основе приведенных соотношений получим:

Следовательно, численность мужского населения региона возросла за указанный период на 9,6%, а женского — на 0,2%.

6.7. Среднегодовые темпы роста продукции фермерского хозяйства региона за период 2002—2006 гг. в земледелии составили 102,6%, а в животноводстве — 105,3%. Величина продукции в 2006 г. (в условных единицах) составила: в земледелии - 7820, в животноводстве — 8590.

Определите среднегодовой темп роста продукции в целом за период 2002-2006 гг.

Решение

Среднегодовой темп роста всей продукции фермерского хозяйства за период 2002-2006 гг.:

По условию задачи известны уровни 2006 г. Начальные уровни 2002 г. определим отдельно по земледелию и животноводству исходя из их среднегодовых темпов роста:

Среднегодовой темп роста всей продукции фермерского хозяйства за период 2002-2006 гг. составил 103,96%.

6.8. Численность специалистов с высшим и специальным средним образованием (человек) двух регионов представлена в табл. 6.20.

Требуется:

1) сопоставить среднегодовую численность специалистов по двум регионам;

2) определить, в каком регионе и на сколько средняя численность специалистов больше (в абсолютном и относительном выражении).

Решение

Для определения среднего уровня моментного ряда динамики с неравными интервалами между отдельными датами, по состоянию на которые дается размер изучаемого явления, используется формула средней арифметической взвешенной:

Аналогично рассчитывается средний уровень ряда за 2006 г. для II региона; он равен "у = 1821 чел.

В I регионе численность специалистов с высшим и средним образованием больше на 63 чел. (1884 - 1821), или на 3,46% [(63 : 1821) • 100].

6.9. Рассчитать интервальный прогноз объема перевозок на 2007 г. с вероятностью 0,99 на основе следующих отчетных данных по грузовому автотранспортному предприятию (табл. 6.21).

Решение

Для определения формы тренда и расчета его параметров составляется вспомогательная табл. 6.22.

Первые разности (гр. 3) приблизительно равны между собой, что позволяет в виде модели принять уравнение прямой:

Для нахождения а₀ и а_г используется система нормальных уравнений:

Для упрощения системы уравнений показатели времениt обозначаются так, чтобы t = 0; тогда система принимает вид:

6.10. По группе таксомоторных предприятий города имеются следующие данные (табл. 6.23).

Требуется на основе приведенных данных составить интервальный прогноз для 2007 и 2008 гг., гарантируя результат с вероятностью 0,954.

Решение

Для определения формы тренда и расчета его параметров составляется вспомогательная табл. 6.24.

В данном случае выравнивание проводится по параболе второго порядка, так как вторые разности приблизительно равны. Парабола второго порядка имеет вид:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения

Решение уравнений дает следующие параметры, млн км:

Интервальный прогноз:

Среднее квадратическое отклонение тренда:

Составим вспомогательную табл. 6.25.

6.11. По грузовому автотранспортному предприятию имеются следующие данные об объеме перевозок (табл. 6.26). На основе приведенных данных тр е б у е т с я:

1) выявить наличие сезонной неравномерности;

2) определить величину сезонной волны, используя индексы сезонности.

Решение

Для выявления наличия сезонной неравномерности используется графический метод (рис. 6.1).

На рис. 6.1 видно, что максимальные и минимальные объемы перевозок практически приходятся на одинаковые месяцы.

Поскольку объем перевозок от года к году существенно не меняется, индекс сезонности определяется по формуле

Расчет индексов сезонности выполнен во вспомогательной табл. 6.27.

Расчет индексов осуществляется так:

1. Определяются средние суточные уровни для каждого месяца:

2. Определяется общая средняя за весь период:

3. Исчисляются индексы сезонности:

Индексы сезонности показывают, что среднесуточный объем перевозок в январе меньше среднесуточного за весь период на 5,5% (94,5 - 100), а в августе превышает его на 9,1% (109,1 - 100).

6.12. По станциям технического обслуживания легковых автомобилей города имеются следующие данные (табл. 6.28).

Требуется на основе приведенных данных выявить наличие сезонной неравномерности и рассчитать величину сезонной волны.

Решение

Анализ исходной информации позволяет сделать вывод о наличии сезонной неравномерности при росте годового объема технических обслуживании. Так как уровни явления имеют тен-де нцию к развитию, то индексы сезонности исчисляются по формуле

Результаты расчета индексов сезонности представлены в следующей таблице (табл. 6.29).

2. Для выявления общей тенденции ряда производится сглаживание с помощью 12-месячной скользящей средней у^′_i

6.13. По грузовому автотранспортному предприятию имеются следующие данные об объеме перевозок грузов за отчетный год (табл. 6.30).

Построить модель сезонных колебаний в объеме перевозок, используя первую гармонику ряда Фурье.

Решение

Первая гармоника имеет вид:

Параметры уравнения определяются по формулам:

Для расчета параметров уравнения использована вспомогательная табл. 6.31.

Параметры искомого уравнения следующие:

Модель сезонной волны объема перевозок примет вид:

6.14. По промышленному предприятию с 2000 по 2006 г. имеются следующие данные (табл. 6.32).

Требуется определить степень тесноты связи между представленными рядами динамики с помощью коэффициента корреляции отклонений.

Решение

Все расчеты располагают во вспомогательной таблице.

При определении коэффициента корреляции отклонений предварительно проводят сглаживание или аналитическое выравнивание каждого ряда.

Выравненный ряд признаков определялся на основе полученных ранее моделей.

Уровни механизации определялись так:

Полученное значение коэффициента корреляции отклонений говорит о наличии прямой (знак «плюс») и весьма тесной связи (0,77) между динамическими рядами и характеризуемыми ими явлениями.