§ 2. Преобразования

Одной из наиболее часто используемых операций над геометрическими данными является преобразование. На­пример, вращение трехмерного пространства R³ дает воз­можность рассматривать трехмерные геометрические объ­екты с любой удобной точки. Это может оказаться полез­ным при проверке геометрической целостности объекта, или при подробном изучении какого-либо свойства, или по какой-либо другой причине. Некоторые подходы осно­ваны на библиотеках основных геометрических «строи­тельных блоков», из которых путем преобразования мо­гут быть построены более сложные геометрии. Они следу­ют из некоторых теоретико-множественных операций, ко­торые будут построены далее. Алгоритмы для такого типа геометрического синтеза являются весьма специаль­ными и не будут здесь обсуждаться, однако мы упомя­нем, что обобщенная форма теоремы Эйлера для графов может быть использована для исследования топологии конструируемого объекта. Преобразования используются более широко. Некоторые из наиболее употребляемых преобразований и их линейные представления будут сей­час описаны.

2.1. Преобразования в R². Переносом в R² называет­ся отображение вида Тr = r + r₀ для всех r ∈ R², где r₀ ∈ R² — фиксированный вектор. Перенос перемещает всю плоскость сдвигом на фиксированный вектор и может быть записан в координатной форме:

Т(x, у) = (x, у)+( х₀, у₀ ) = (x + х₀, у + у₀)

Обозначим через Т(2) множество всех переносов на R² и определим произведение в Т(2), используя композицию отображений. Пусть Т₁ —перенос на вектор r₁, а Т₂— перенос на вектор r₂. Тогда произведение Т₂ ◦ Т₁ определим как

Т₂◦ Т₁r = T₂(T₁r) = r + r₁ + r₂.

Очевидно, что Т₂◦ Т₁ есть перенос на r₁ + г₂, и, следова­тельно, операция ◦ является бинарной на T(2). В дей­ствительности справедливо более сильное утверждение.

Предложение. (T(2),◦ )—коммутативная груп­па нелинейных преобразований R.

Доказательство. Замкнутость относительно опе­рации ◦ уже доказана. Аксиомы группы следуют из груп­повой структуры (R², +); например, если T₁ (1 ⩽ i ⩽ 3) — переносы на r _n, то

(T₃ ◦ (T₂ ◦ T₁))r = Т₃((T₂ ◦ T₁)r) = Т₃ (r + r₁ + r₂) = r + r₁ + r₂ +r₃ = (r + r₁)+( r₂ +r₃)=

= (T₃ ◦ T₂)( T₁r) = ((T₃ ◦ T₂)◦ T₁)r;

поэтому (Т(2), ◦ ) ассоциативна. Единицей является пе­ренос на вектор (0, 0), а обратным переносом к T r = г + r₀ будет T′r = r - r₀; поэтому

Т ◦ Т' r = Т Т' r = r для всех r ∈ R².

Коммутативность также выполняется, поскольку

(T₂ ◦ T₁)r = r+r₁+r₂ = r+r₂+r₁ = (T₁ ◦ T₂)r.

В общем случае, если T∈T(2), то T(0, 0)≠(0, 0); поэ­тому начало координат смещается и, следовательно, пере­нос является нелинейным отображением. //

На практике это означает, что можно применить любое число переносов к геометрическому объекту и получить один и тот же результат. Кроме того, нелинейный харак­тер элементов T(2) означает, что мы не можем выпол­нить Т(2) при помощи элементов из M(2, R); другими словами, уравнение

для всех (x , y) ∈ R² не имеет решения. Следствия из этого факта будут рас­смотрены ниже.

Опишем поворот в R², используя рис. 10.6. Интуитив­но ясно, что поворот на угол θ, обозначаемый W (θ), ото­бражает точку (x , у) в точку (x' , у'), где ||r|| = ||r'|| = r. Из рисунка видно, что

x = r θ, у = r sin θ, x' = r (θ + θ1), у' = (θ + θ1).

Применяя тригонометрические формулы, получаем

x' = r θ₁ - sin θ sin θ₁) = x θ — у sin θ,

y'= x sin θ + у θ,

Так что W(θ)(x, y)=( x θ – y sin θ , x sin θ + y θ)

В матричной форме это можно записать следующим образом:

W(θ) геометрически соответствует повороту вокруг начала координат O. Следующее предложение непо­средственно вытекает из представ­ления M (2, R) и, с нашей точки зрения, суммирует основные свой­ства поворотов.

Предложение.

а) Преобразование W(θ):

• линейно,

• ортогонально, W(θ) = 1.

б) Множество {W(θ) : 0⩽ θ < 2π} является коммутативной

группой по отношению к композициям отображений (ум­ножением матриц). И

Рис. 10.6

С практической точки зрения из а) следует, что для вычисления преобразования, обратного к повороту, до­статочно лишь транспонировать матрицу. Часть б) озна­чает, что любое число поворотов может применяться к множеству геометрических данных в любом порядке π будет давать одинаковые результаты. На самом деле вер­но обратное к а) утверждение. В частности, если W ∈M((2, R) и выполнены условия, a) W является пово­ротом. Другими словами, мы можем определить поворот в R² как элемент группы SO(2).

Хотя Т(2) и SO (2) являются коммутативными груп­пами, преобразования из Т(2) не коммутируют с преоб­разованиями из SO(2), так как если W ∈ SO(2) и T ∈ T(2)—сдвиг на r₀ ,то мы имеем TW r = W r +r₀ и WT r=W(r+r₀) = W r + W r₀ ≠ TW r при r₀ ≠ (0, 0). На практике это означает, что преобразования переноса и по­ворота надо применять строго в том порядке, в каком они написаны. Некоммутативность проиллюстрирована на рис. 10.7, где показаны результаты применения преобразо­ваний Т ◦ W(π/2) и W(π/2) ◦ Т к полусфере. Из рис. 10.7 видно, что если площадь {(x, у): 0⩽ x⩽ а, 0⩽ y ⩽ b} соответствует экрану графического терминала, то резуль­тат применения W(π/2)◦ Т к полукругу даст в итоге пу­стой экран.

Р ис. 10.7

Группы T(2) и SO(2) могут быть объединены в виде третьего множества Е(2) преобразований плоскости, на­зываемых евклидовыми. Элементы U∈ E(2) имеют вид Ur = W r + r₀ для всех г ∈ R², где W∈SO(2),а r₀∈ R²- фиксированный вектор. Эти преобразования часто запи­сывают в виде пар вида (W, r₀). Если (W₁,r₁)∈ E(2) и (W₂,r₂) )∈ E(2), то (W₂, r₂)◦( W₁,r₁)= (W₂, r₂)(W₁r + r₁)= W₂(W₁r+r₁)+r₂=(W₂W₁, W₂r₁+ r₂)r. так что

(W₂, r₂).(W₁, r₁) = (W₂W₁, W₂r₁ + r₂) ∈ E(2) и E(2) замкнуто. В действительности имеет место следу­ющее предложение.

Предложение. Е(2) является группой по отно­шению к операции композиции.

Доказательство. Ограничимся указанием ос­новных моментов доказательства. Замыкание уже доказа­но. Ассоциативность следует из применения преобразо­ваний несколько раз. Если l∈GL(2, R)— единица, то справедливы соотношения

(l, 0)◦(W, r₀) = (W, r₀)◦(I, 0) = (W, r₀)

для всех (W, r₀) ∈ E(2); следовательно, (l,0) является единицей в Е (2). Обратный элемент (W, r₀)^-1 к (W, r₀) будет равен (W^T, - W^T r₀) при (W^T,-W^T r₀) ∈ E(2), и

(W, r₀)◦(W^T, -W^Tr₀) = (I, 0) = (W^T, - W^Tr₀). //

SO(2) и Т(2) являются подгруппами {(W, 0): W ∈ SO(2)} и {(I, r₀): r₀ ∈ R²) из Е( 2) соответственно, и каждый элемент (W, r⁰) ∈ E(2) может быть представлен следующим образом:

( W, r₀ ) = (I, r₀)◦(W, 0). Е(2) — некоммутативная группа, так как

(W₂, r₂ )◦(W₁,r₁) = (W₂W₁, W₂r₁+r₂)

(W₁ ,r₁)◦(W₂,r₂) = (W₁W₂, W₁r₂+r₁)≠(W₂, r₂)◦(W₁,r₁).

В приложениях компьютерной графики часто хотят повернуть объект около некоторой фиксированной точки,

отличной от начала координат. Например, на рис. 10.8

полукруг повернут на π/2 около точки Р. Общая ошибка при этом заключается в попытке применить преобразова­ние W(π/2); однако это приводит к результату, изобра­женному на рис. 10.9. Проиллюстрируем последователь­ность преобразований поворота вокруг фиксированной точки r₀ ∈ R² на рис. 10.10, используя понятия Е(2). Тре­буемое преобразование, таким образом, будет равно

(I, r₀) ◦ ( W (π/2), 0) ◦ (I, - r₀).

Эту запись можно упростить, используя правило произве­дения в Е(2); получим

(W(π/2), - W (π/2) r₀ + r₀).

Ясно, что применять составное преобразование к множе­ству геометрических данных более эффективно, чем при­менять в отдельности каждое преобразование. Е(2) дает возможность расположить объект в любой точке плоско­сти и в требуемой ориентации.

Множество полезных операций на плоскости включа­ет в себя преобразование масштаба. Преобразованием масштаба на R² называют отображение вида

S( x, у ) = ( λх , μ y), λ, μ>0, или же (в матричной форме)

М ножество всех преобразований такого типа обозначается S(2).

Важные свойства S(2) сформулированы в следую­щем предложении, доказательство которого оставляем в качестве упражнения.

Предложение. S(2) является коммутативной группой линейных преобразований по отношению к опе­рации композиции. (Другими словами, S(2) является коммутативной подгруппой GL(2, R).) //

Преобразование масштаба не коммутирует с перено­сом, так как если Т — перенос на вектор r₀ и

S(x, y) = ( λ x , μ y ),

то

S◦T(x, y)=S(x + x₀, y + y₀) = (λ (x + x₀), μ(y + y₀)), T◦S(x, y)=T(λ x, μy)=(λ x + x₀ , μy + y₀)≠S◦T(x,y) в общем случае некоммутативность проиллюстрирована

на рис. 10.11; используются преобразование масштаба S(x, y) = (2x₁ 2у)

и перенос

Т(x, y) = (x+1, y+1)

е диничного квадрата с вершиной в начале координат. Аналогично можно показать, что преобразования масшта­ба не коммутируют с поворотами. Доказательство этого - построение соответствующего рисунка, который это де­монстрирует, оставляем в качестве упражнения.

Рис.10.11

На практике это означает, что если преобразование масштаба комбинируют с переносом или с поворотом, то следует обращать особое внимание на порядок примене­ния преобразований.

Языки высокого уровня предусматривают массивы как структуры данных; следовательно, матричное представле­ние всех рассмотренных выше преобразований должно существенно упростить их применение. Например, все произведения преобразований тогда могли бы вычислять­ся путем умножения матриц (см. гл. 6) вместо того, что­бы работать с определениями этих преобразований. Нели­нейная природа переносов препятствует представлению в M (2, R); однако возможно получить подходящее пред­ставление обсуждаемых выше преобразований в M(3, R), где матрицы оперируют в пространстве H² однородных координат R². Поскольку техника получения представле­ния в однородных координатах носит весьма общий ха­рактер и, в частности, может быть применена к преобра­зованиям в R³ (где получается представление в M(4, R)), мы отложим рассмотрение до описания преобразований в R³.

2.2. Преобразования в R³. Перенос в R³ есть отобра­жение Т: R³→R³ вида

T r = r + r₀ для всех г ∈ R³,

где г₀ ∈ R³ — фиксированный вектор. Если r₀ = (x₀, у₀, z₀), то перенос на го может быть записан в компонентной форме как

Т(x, у, z) = (x + x₀ , y + y₀ , z + z₀).

Пусть Т(3) обозначает множество всех переносов R³. Тогда Т(3) образует коммутативную группу (по отноше­нию к операции композиции) нелинейных преобразова­ний R³, изоморфную группе (R³, +). Следствием этого является тот факт, что последовательность переносов R³ может применяться в произвольном порядке и будет да­вать один и тот же результат и что

м ы не можем выпол­нить Т(3) при помощи элементов из M (3, R).

Группа поворотов в R³ имеет более сложную структу­ру, чем SO(2). Рассмотрим поворот (θ) на угол θ

вокруг оси, определяемой единичным вектором ∈ R³, как это изображено на рис. 10.12. Тогда

(θ)r = r',

где r — вектор с концом в точке Р, а r' — преобразован­ный вектор с концом в точке Р'. Чтобы определить явно (θ), мы должны выразить r', как функцию r, и θ. Ясно, что если r _N — вектор, определяемый точкой N, ле­жащей на оси поворота, то

r _N =( ; r) ,

и если r _NP — вектор, соединяющий N и Р, то

r _NP = r — r _N = r — ( • r) = ( r) .

Рисунок 10.13 показывает, как выглядит поворот из точки N в направлении начала координат О; Q — точка, полученная поворотом точки Р на π/2 относительно оси ON. Таким образом, (θ)— поворот; следовательно,

||r _NQ|| = ||r _NP|| = ||r _NPʹ|| ,

r _NPʹ = r _NQ θ + r _NP θ,

где r _NQ — проекция вектора на ось NQ. Отсюда следует, что

=

(см. упражнение 10.1); следовательно,

но

Предложение

Доказательство. Некоторые детали доказатель­ства будем оставлять в качестве упражнений. Запишем в несколько иной форме. Если определяет ось поворота, то определим преобразование : R³→R⁸ следующим образом:

является непрерывным и антисимметричным (см. уп­ражнение 10.1). Тогда

;

линейно и симметрично. Сейчас мы можем записать

как сумму

в M{3, R). Но M(3,R) — векторное пространство; следовательно, линейно. Ортогональность следует из свойств так как

по (см. упражнение 10.1)

Следовательно,

и ортогонально.

Доказательство того, что , оставляем в качестве упражнения. //

Обратное утверждение также справедливо (см. зада­чу 12 упражнения 10.1); в частности, если , то можно показать, что существуют единичный вектор и угол θ в пределах 0 ⩽ θ < 2π такой, что

Следовательно, разумно определить повороты в R³ как группу SO (3).

Определим некоторые подгруппы SO(3). Часто тре­буется повернуть объект вокруг одной из декартовых осей координат. Соответствующие матрицы могут быть полу­чены из общего вида .

Например, чтобы осущест­вить поворот на угол 0 вокруг оси OZ, выберем , для которого.

так что

Аналогично матрицы

соответствуют поворотам па углы φ и χ вокруг осей ОХ и OY соответственно. Доказательство этого оставляем в качестве упражнения. Сейчас легко показать, что SO(3)—некоммутативная группа, так как в общем случае

Однако все подгруппы

коммутативны (см. упражнение 10.1).

С практической точки зрения из этих результатов следует, что для обращения поворота надо просто транс­понировать матрицу, и если к некоторому геометрическо­му объекту применяют несколько поворотов, то порядок их применения важен.

Следуя двумерному случаю, объединим T(З) и SO(3) в виде множества Е(3) евклидовых преобразований R³.

Элементы Е(3) имеют вид Ur = W r + r₀ для всех r∈R³, где W ∈ SO(3) и r₀ ∈ R³, Правило композиции в Е(3) записывается следующим образом:

◦

по отношению к нему Е(3) становится некоммутативной группой нелинейных преобразований R³. Отсюда выте­кают следствия, аналогичные двумерному случаю. И частности, подчеркнем, что Е(3) не может выполнять­ся в M(3, R).

Преобразование масштаба в R³ является линейным отображением вида

S(x, y, z) =(λ x, μ y, σ z), (x, y, z) ∈ R³ , где λ, μ, σ > 0.

Множество 5(3) всех преобразований масштаба определяет коммутативную группу по отноше­нию к операции композиции.

Остальные преобразования, рассматриваемые в этом параграфе, имеют цели и свойства, отличные от рассмот­ренных выше. Нашей целью является задача представ­ления трехмерного геометрического объекта на двумер­ном графическом терминале. С математической точки зрения мы ищем преобразования R³ в двумерные под­пространства, в которых получаются необходимые гра­фические представления нашего объекта. Напомним, что преобразование Р векторного пространства называют проекцией, если Р²= Р.

Пусть объект описывается в декартовой системе коор­динат (я, у, z) и в этой системе экран графического дис­плея соответствует прямоугольному подмножеству

{(x, у): 0⩽ x⩽ а, 0 ⩽ у ⩽ b}

на плоскости x у. Простейший метод получения образа объекта на экране — это применить преобразование Р₁r = r', где r = (x, у, z) и r'=(x, у, 0), к множеству геометрических данных. При условия что все значения x и у для множества данных находятся внутри экрана, получаем полную картину объекта. Если некоторые зна­чения x и(или) у находятся вне пределов экрана, то на­до вначале произвести подходящее преобразование мас­штаба. Р₁ — линейная проекция, так как

и для всех r ∈ R³. Однако P_t не существует, так как

Геометрически P₁ можно получить следующим образом. Начертим линию сегмента (линию проекции) из точки Q, определяющей положение вектора r, в точку Q′, определяющую положение r′, в плоскости x y так, чтобы линия отрезка QQ′ была ортогональна плоскости x y (рис. 10.14). Тогда ясно, что

P₁ называют параллельной ортогональной проекцией R³.

В параллельной проекции не отражается глубина получаемого образа; высота объекта появляется на экране такой же независимо от его расстояния до плоскости xy.

Р ис. 10.14

Последнее преобразование, которое мы опишем, предна­значено для того, чтобы дать глубину образа или «пер­спективу». Вместо линий параллельной проекции постро­им линии проекции, выходящие из некоторой фиксиро­ванной точки

точки. Определим проекцию Р₂ r = r', где фикси­рованной точкой является конец вектора

Рис. 10.15

( как пока­зано на рис. 10.15) и, следовательно, точка Q отобража­ется в точку Q'.Рисунок 10.16 представляет вид рис. 10.15, если смотреть вдоль оси ОХ. Очевидно, что

Рис. 10.16

и ли же

Аналогично получаем

явная форма для Р₂ имеет вид

Предложение. Р₂ является нелинейной проек­цией R³.

Доказательство.

для произвольного λ. Следовательно, Р₂ нелинейно. Имеем

и, таким образом, Р₂ — проекция в R³ по определению. //

Отсюда можно сделать заключение, что Р₂ нельзя включить в M(3, R). В образе можно достигнуть хоро­шей глубины применением Р₂, при условии что выбрана подходящая точка проекции. На рис. 10.17 показан вид прямоугольного параллелепипеда, полученный проекция­ми P₁ И P₂.

2.3. Однородные координаты и линейное представле­ние. В этом разделе мы опишем технику представления преобразований R² и R³, рассмотренных выше, при по­мощи элементов из M (3, R) и M(4, R) соответственно. Идея является общей и описывается в R ⁿ; мы ищем вложение некоторых специальных классов преобразований R ⁿ, не все из которых являются линейными, в ал­гебру матриц M(n+ 1; R).

В § 1 было показано, что Q ⁿ является биекцией H ⁿ→R ⁿ и может быть использовано для определения системы координат в R ⁿ. Это означает, что если Т — преобразование R ⁿ, то мы можем его выразить как пре­образование Нⁿ. Другими словами, существует отобра­жение Т: H ⁿ →H ⁿ такое, что диаграмма на рис. 10.18 коммутативна. Имеем Q ⁿ ◦ Т = Т ◦ Q ⁿ, но отображение Q ⁿ имеет обратное. Поэтому мы можем записать Т=(Q ⁿ)^-1 ◦ T ◦ Q ⁿ. Если S — другое преобразование R ⁿ, то

S ◦ T = (Q ⁿ)^-1 ◦ S ◦ Т ◦Q ⁿ = (Q ^n)-1◦S◦Q ⁿ◦(Q ⁿ)^-1◦T◦Q ⁿ = S◦T

Другими словами, мы можем соединить вместе диаграм­мы, не нарушая коммутативность, как это показано на рис. 10.19. Для некоторых преобразований Т простран­ства R ⁿ существует линейное преобразование

T_L: R"⁺¹→ R ⁿ⁺¹

такое, что T[x] = [T_L x] для всех x ∈ R ⁿ⁺¹.

T_L существует для всех преобразований, рассмотрен­ных в этой главе, и является требуемым представлением T в R ⁿ⁺¹, так как если г ∈ R ⁿ, то мы имеем

T r= Q ⁿ ◦ Т ◦ (Q ⁿ)^-1r = Q ⁿ ◦ Т [r, 1] = Q ⁿ [T_L (r, 1)].

Таким образом, преобразование Т получается путем при­менения T_L к однородному представлению и последую­щим применением Q ⁿ для возврата к физическим коор­динатам.

Ч тобы иметь уверенность в том, что все работает правильно, надо показать, что композиция S ° Т соответ­ствует произведению матриц S_LT_L. Это легко сделать, так как

S ◦T[x] = S[T_L x] = [S_L T_L x].

Графически это означает, что мы можем

Рис. 10.18 Рис.10.19

расширить коммутативную диаграмму, изображенную на рис. 10.19, до коммутативной диаграммы, изображенной на рис. 10.20. Отсюда следует, что, один раз определив матрицы T_L, S_L, ..., соответствующие преобразованиям Т, S, ..., которые мы хотим осуществить, мы затем со­храняем их, опуская обозначения классов эквивалентно­сти и работаем с векторами, представляющими эти клас­сы.

Р ис. 10.20

Произведения преобразований в R ⁿ получают путем умножения матриц из M( n + 1, R ), примененных к векто­рам, представляющим классы. Все представители данно­го класса будут давать те же самые физические коорди­наты в соответствии с отображением

Обычно выбирают вектор (r , l) ∈ R ⁿ⁺¹, чтобы предста­вить r ∈ R ⁿ. Такой выбор, очевидно, всегда возможен.

В следующих примерах мы получим матрицы T_L для преобразований, описанных в . 2.1, 2.2. Все матрицы вычисляются в стандартном базисе.

Пример 2.1. Пусть Т: R ⁿ →R ⁿ — линейное преоб­разование с матрицей А_T. Тогда матрица T_L будет равна

так как если x = (r, 1) ∈ R ⁿ⁺¹ , то

◦ ◦ ◦

Для , если это удобно, используют обозначение

Раскладывая по последней строке, видим, что тогда и только тогда, когда

очевидно, что //

П р и м е р 2.1 показывает, как применять линейные преобразования; например, применяя преобразования к SO(2), получаем представление

в M(3, R) для матрицы

Аналогично, если W∈ SO(3) то W_L имеет вид

в M (4, R) и

Пример 2.2. Пусть Т : R ⁿ →R ⁿ — перенос

Т r = r + а для всех r ∈ R ⁿ,

где a=(a₁,…,a_n) ∈ R ⁿ — фиксированный вектор. Тогда матрица Т_L будет равна

она может быть записана в более краткой форме:

Легко показать, что если x =(r, 1), то

◦ ◦ //

Пример 2.3. Аналогичными вычислениями можно показать, что преобразование (W, а) ∈ Е(2) можно вы­полнить, используя

, где W ∈ SO (2) и a ∈ R²,

а преобразование (W, а) ∈ E (3) можно выполнить, ис­пользуя

где W∈ SO(3) и a ∈ R³.

Обратные матрицы имеют вид

как в Е(2), так и в Е(3). //

Пример 2.4. Проекция Р₂: R³→R³, определяемая соотношением

может быть выполнена в M(4, R) как

так как если х =(г, 1) ∈ R⁴ и r = (х, у, z),то

◦ ◦

◦

Упражнение 10.1.

1. Показать, что группы (T(2), ◦) и (R², +) изо­морфны.

2. Доказать, что если

то матрица поворота W(θ) ∈ SO(2) может быть записа­на в экспоненциальной форме W(θ) = exp{θJ}.

3. 3. Определить евклидово преобразование, отображаю­щее треугольник PQR, изображенный на рис. 10.21, а, в треугольник P'Q'R', изображенный на рис. 10.21, b.

Р ис. 10.21

4. Доказать, что S(2)— коммутативная подгруппа ли­нейных преобразований R².

5. Показать, что в общем случае элементы S(2) не коммутируют с элементами SO(2), и построить рисунок, демонстрирующий это.

6. Доказать, что единица нетривиальной подгруппы S(2) не коммутирует с SO(2).

7. Используя преобразование S(x, у) = (Зx, 5у), изме­нить масштаб R² так, чтобы точка (2, 2) оставалась фиксированной. Определить это преобразование.

8. Показать, что если — единичный вектор, то для всех r ∈ R³.

9. Пусть n ∈ R³ и A_n : R³→R³ определено соотношением для всех r ∈ R³. Показать, что A_n — линейное преобразование R³, и определить матрицу A_n — в стандартном базисе {i, j, k}.

10. Используя результаты п. 9 этого упражнения и выражение через , получить в явном виде матричную форму поворота в R³. Показать, что .

11. В обозначениях п. 9 показать, что для всех r ∈ R³ имеем

для всех k∈ N; использовать эти результаты для дока­зательства равенства

4. а) Используя экспоненциальную форму , получить другое доказательство того, что

б) Если А ∈ M(n, R), то можно показать, что

используя этот факт, получить другое доказательство соотношения

4. Доказать, что является собственным вектором при любом θ, 0 ⩽ θ < 2π. Чему равно собствен­ное значение? Дать геометрическую интерпретацию ато­му результату.

5. Вывести формулу для матриц поворота

.

4. Показать, что все подгруппы изоморфны SO(2).

16. Пусть a∈ R² — фиксированный вектор и преоб­разование Т : R³→R³ определено как

а) Доказать, что Т — нелинейная проекция в R⁸.

б) Доказать, что

Т[{r, 1)]-[(г, a∙r)]

для всех r ∈ R³ при .

в) Определить матрицу A ∈ M(4, R) такую, что

T[x] = [Ax] для всех x ∈ R⁴ , где [x] ∈ Н³.