3.3. Установим закон радиоактивного распада ядер атомов.

Для составления исходного дифференциального уравнения обозначим N число нераспавшихся ядер атомов в данный момент времени t , N₀ — число нераспавшихся ядер в начальный момент времени (t = 0). В процессе радиоактивного распада число N убывает. Обозначим через dN убыль нераспавшихся ядер за малый промежуток времени dt. Эта убыль, естественно,

пропорциональна промежутку времени dt и числу нераспавшихся ядер N:

dN = -  N dt , (13)

где  - постоянная радиоактивного распада. Знак “минус” в формуле (13) отражает тот факт, что число нераспавшихся ядер со временем уменьшается.

Решая уравнение (13) методом разделения переменных с учетом начального условия (при t = 0 N = N₀ ) получим закон радиоактивного распада:

. (14)

Уравнение (14) описывает убывание количества нераспавшихся ядер за счет радиоактивного распада.

Допустим теперь, что некоторое количество радионуклидов одномоментно поступило в организм. Убыль (dN) нераспавшихся радиоактивных ядер в организме будет определятся двумя процессами: 1) физическим распадом ядер и 2) биологическим выведением радиоактивных веществ из организма. Дифференциальное уравнение, отражающее эти два процесса , будет иметь вид:

dN = - (+_в) N dt , (15)

где _в - постоянная биологического выведения.

Решение уравнения (15) имеет вид:

N = N₀ e^{-(+в)t} . (16)

Формула (16) представляет закон исчезновения радионуклидов из организма

при указанных условиях .

3.4. Рассмотрим внутривенное введение некоторого лекарственного вещества через капельницу. Будем считать, что оно вводится в кровь с постоянной скоростью v (г/мин.), а выводится из крови со скоростью, пропорциональной ее количеству m, содержащемуся в крови на данный момент времени t . Поставим задачу: найти закон, определяющий зависимость количества лекарственного вещества в крови от времени, т.е. m = f(t). Задача сводится к нахождению вида функции m = f(t).

Изменение содержания лекарства в крови (dm) за малое время (dt) определяется его приростом за счет введения ( v dt ) и уменьшением за счет выведения (к m dt ). Постоянный коэффициент к характеризует интенсивность процесса утилизации .

Таким образом, необходимое для решения задачи дифференциальное уравнение имеет вид:

dm = v dt - к m dt. (17)

Начальное условие можно записать: при t = 0 m = m₀ , где m₀ - имеющаяся в крови масса вещества до начала введения.

Для решения уравнения (17) необходимо произвести разделение переменных и последующее интегрирование:

(18)

При нахождении интеграла в левой части выполним замену переменных, обозначив v - кm = u:

(19)

Интеграл в правой части:

(20)

Приравняв левую и правую часть и объединяя постоянные, получим:

ln( v - кm ) = - кt + C. (22)

Начальное условие дает возможность определить постоянную С:

С = ln ( v - кm₀ ). (23)

С учетом формулы (36) для решения задачи, получим логарифмическое уравнение: ln (v - кm) = - кt+ ln(v - кm₀). (24)

Потенцирование выражения (24) приводит к результату:

(25)

После элементарных математических преобразований получим искомую зависимость содержания глюкозы в крови от времени:

. (26)

Графически эта зависимость показана на рис.6. Из закона (26) и рис.6 следует, что при длительном введении вещества (t  ) его содержание в крови все равно не превысит некоторого максимального уровня , поскольку при t   второе слагаемое формулы (26) обращается в нуль. Из рис.6 следует, что введение следует прекращать в момент времени t₁ , поскольку после этого наступает, практически, эффект насыщения. Отмеченный на графике уровень m₀ соответствует содержанию вещества в крови до начала введения.

Рассмотренные примеры касались количественного описания с помощью дифференциальных уравнений сравнительно простых явлений. Естественно, что рассмотрение более сложных задач требует и более сложного математического аппарата. Однако, использование математических методов для анализа процессов жизнедеятельности, изучения внешних воздействий на организм, разработки методов диагностики и лечения, - совершенно необходимо для понимания сущности этих явлений и имеет несомненную практическую значимость.

Контрольное задание

1. Зарегистрирована в виде кривой зависимость объема кровенаполнения ткани от времени. Какой физиологический смысл имеет производная этой зависимости?

2. Путь S в метрах, проходимый точкой при прямолинейном движении изменяется со временем t в секундах по закону: S(t) = 4( e ^t/2 - 1). Вычислить скорость и ускорение точки через 2 с после начала движения.

3. График функции имеет вид трапеции. Построить график производной этой функции.

4. Концентрация некоторого вещества ( С ) убывает с увеличением толщины ткани (h) по закону C = C₀ е ^{- kh}, где k- постоянный коэффициент, С_{0 -} концентрация на поверхности. Найти градиент концентрации.

5. Количество теплоты (Q), теряемое телом человека при испускании им инфракрасных лучей , пропорционально четвертой степени температуры ( Т ): Q = аТ ⁴, где а- постоянная. На сколько процентов увеличилась температура тела, если выделяемое в этом случае количество теплоты возросло на 8% ?

6. При лечении некоторого заболевания одновременно назначаются два препарата. Реакция организма ( например, понижение температуры) на дозу х первого препарата и дозу у второго препарата описывается зависимостью: R (х₁у)= х² у² (а - х) (b - у) , где а и b- постоянные. Определить дозу у второго препарата, которая вызовет максимальную реакцию при фиксированной дозе х первого препарата.

7.На сколько процентов изменится электрическая мощность, выделяемая на некоторой нагрузке, если сила тока увеличится на 1% , а сопротивление уменьшится на 3% ?

8. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой у = cos х и осью х в пределах от 0 до /2.

9. Установить закон поглощения света в веществе, т.е. получить зависимость интенсивности света I , прошедшего через слой вещества, от толщины этого слоя х. Считать, что убыль световой энергии в тонком слое вещества пропорциональна толщине этого слоя и интенсивности света на него упавшего. На верхней границе слоя интенсивность света считать известной и равной I₀.

10. Бактерии, помещенные в питательную среду, размножаются со скоростью, пропорциональной их количеству на данный момент времени. Действие рентгеновского излучения вызывает их гибель со скоростью, пропорциональной квадрату их количества на данный момент времени. Составить дифференциальное уравнение, необходимое для решения задачи об установлении зависимости от времени t числа бактерий n, находящихся в питательной среде и под действием излучения.

11. Скорость роста популяции насекомых v зависит от времени t ( в днях ) по закону: v = 2(t + t ² ). Определить численность популяции через 3 дня, если в начальный момент число особей в популяции равно 100.

12. Если первоначальное количество фермента равно 1 г, а через 1час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 час после начала брожения? Скорость прироста фермента считать пропорциональной его полному количеству на данный момент времени.