Лекция 2. Электрические колебания

Электромагнитными колебаниями называются од­новременно периодические изменения взаимосвязанных элект­рического и магнитного полей..

Свободные электрические колебания

Ко­лебательный кон­тур – электрическая цепь, которая состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки индук­тив­ности. Кон­тур считается идеализированным, если его электрическим сопротивлением можно пренебречь.

Уравнение колебаний заряда q(t )и нап­ряжения на кон­ден­са­торе U(t) в ко­лебательном кон­туре:

q=q_мcoswt, U=U_мcoswt.

Связь между амп­ли­тудными зна­чения­ми заряда и напряжения на кон­ден­саторе при колебаниях в контуре: .

де С - емкость кон­ден­сатора.

Период собственных колебаний в контуре: ,

где L - индуктивность контура; C - его емкость:

Уравнение колебаний силы тока в ко­лебательном кон­туре, если ко­лебания заряда на конденсаторе совершаются по закону q=q_мcoswt: I=q¢=–q_мwsinwt.

Полная энергия колебатель­ного контура .

Уравнение затухающих электрических колебаний: q=q_м0е^-tcos(t_),

где q  заряд на кон­ден­са­торе в момент времени t; q_м0е^-t  амп­ли­туда загаса­ющих колебаний заряда; =R/2L - коэф­фици­ент затухания; ₀  циклическая частота свободных незатухающих ко­лебаний этого же колебательного кон­тура;   час­то­та загасающих колебаний; q_м0, _ - начальные амплитуда и фаза ко­лебаний (определяются из начальных условий).

Затухающие электрические колебания

Связь коэффициента затухания  с электрическим сопротивлением R и индук­тив­нос­тью L: ,

Частота загасающих колебаний 

где  часто­та колебательного контура при отсутствии затухания.

Амплитуда загасающих электрических колебаний q=q_м0е^-t= А₀е^-(t

Время релаксации  (время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, е»2,7):

 

где Т - условный пери­од колебаний; N  чис­ло колебаний, которые совершаются за время .

Декремент затухания = 

где q(t) и q(t+T) - амплитуды двух последовательных значений заряда, время между которыми равняется одному периоду колебаний.

Логарифмический декремент затухания R 

где =1/ время релаксации; Т - период загасающих колебаний, N  число ко­лебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е»2,7 раз.

Добротность колебательной системы .

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний и его решение:

q=q_м0cos(t),

где q  заряд на кон­ден­са­торе в момент времени t, q_м0=U_m/L (U_m - начальное амплитудное значение заряда на конденсаторе, L - индуктивность контура.

Резонансная частота и резонансная амплитуда заряда: _рез= q_рез= .

Если в колебательном контуре, который состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора, сопротивление которого R, действует периодическая ЕДС Е=Е₀coswt, то в цепи устанавливаются вынужденные электрические колебания тока с той же час­тотой w: І=І₀cos(wt+).

Полное сопротивление Z цепи переменного тока, которая состоит последовательно включенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, на который по­дается переменное напряжение U=U_mcost:

,

где R_L=L  реактивное индуктивное сопротивление; R_C=1/(C)  реактивное емкостное сопротивление.

Действительные (эффективные) значения тока и напряжения в цепи переменного тока:

U= ,

где I_m и U_m  амплитудные значения силы тока и напряжения.

Средняя мощность, которая выделяется в цепи переменного тока:

P_ср= I_mU_mcoscos= .

13