Исходной схемы в их операторные изображения

№ п/п	Элементы исходной схемы	Эквивалентное изображение элементов в операторной схеме
1.		I(s)
2.
3.
4.
5.	j(t)
6.	Согласное включение При встречном включении член, отмеченный скобкой , изменит знак на противоположный.	U1(s) = sLI1(s)-Li(0)+sMI2(s)-Mi2(0) Согласное включение

Нахождение оригинала по изображению с помощью обратного преобразования Лапласа

После решения уравнений для изображений искомых величин, производимых алгебраическим путем, необходимо перейти к оригиналам функции, то есть из s - области перейти в t -область.

Из теории функции комплексного переменного известно, что если функция F(s) аналитическая в полуплоскости стремится к 0 при в любой полуплоскости равномерно относительно аргумента s, и интеграл абсолютно сходится, то F(s) является изображением функции:

. (7.3.10)

Эта формула носит название обратного преобразования Лапласа и представляет решение уравнения (7.3.1) относительно функции f(t). При этом уравнение (7.3.10) записывается в виде

.

На практике при переходе от изображений к оригиналам возможны два подхода:

1. Используют таблицу соответствия между функциями оператора s и функциями времени, полученную в результате расчетов по выражению (7.3.10).

Оригинал	Изображение
1	1/s
t	1/s2

и т.д. (всего 1518 формул).

2. Применяют формулы разложения, полученные на основании теоремы разложения, справедливой при условии, что изображение функции задано в виде правильной дроби

(7.3.11)

Для всех физически реализуемых цепей m ≤ n, а_k и b_k вещественные числа, s₁, s₂, ... s_n  корни уравнения

F₂(s) = 0. (7.3.12)

В зависимости то того, какие корни будут получены в результате решения уравнения (7.3.12), возможны следующие случаи:

а) Корни различные (нулевых и кратных корней нет), вещественные и отрицательные.

В этом случае формула разложения будет иметь вид

≓ . (7.3.13)

б) Нулевой корень, то есть имеется наряду с простыми различными корнями один корень равный нулю, то есть , тогда формула разложения примет вид

. (7.3.14)

в) Комплексно сопряженные корни уравнения F₂(s) = 0 s_k и s_k^*  при вычислении соответствующих им слагаемых, стоящих в правой части уравнений (7.3.13) или (7.3.14), достаточно определить слагаемое для одного из этих корней, например s_k, а для сопряженного корня s_k^* следует взять сопряженное значение этого слагаемого. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней

.

в) Корни кратные  если в уравнении (7.3.14) F₂(s) = 0 имеет q различных корней (s₁, s₂… s_q) и из них корень s₁ кратностью m₁, корень s₂ кратностью m₂, корень s_q кратностью m_q, то по изображению оригинал f(t) вычисляется по формуле

. (7.3.15)

Здесь выражение, стоящее в знаменателе , надо сначала сократить на и лишь после этого дифференцировать.

Если уравнение содержит одновременно и простые и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формулы (7.3.13) или (7.3.24) (если имеется один простой корень равный 0), а для кратных  формула (7.3.15).

В уравнениях (7.3.13) и (7.3.14) число слагаемых под знаком равно числу корней уравнения , причем коэффициенты при можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциальных уравнений цепи в классическом методе расчета.

Расчет переходных процессов

операторным методом

при импульсных входных воздействиях

 вариант расчета, основанный на использовании операторной передаточной функции, которая через преобразование Лапласа взаимосвязана с переходной и импульсной характеристиками цепи.

Операторная передаточная функция цепи и ее связь

с переходной и импульсной характеристиками цепи

При расчете цепей в s-области большое применение находят операторные передаточные функции, представляющие отношение изображения по Лапласу искомой реакции цепи к изображению входного воздействия при нулевых независимых начальных условиях.

Реакция цепи на медленно изменяющееся воздействие

Считаем, что у некоторой цепи известна переходная характеристика h₁(t), для которой h₁(0) = 0, что является определенным ограничением расчета. Импульсная характеристика h₁’(t) = h(t), связана с передаточной функцией цепи соотношением, которое можно записать в виде

≓ .

Воздействуем на вход цепи медленно изменяющимся напряжением u_вх(t) и запишем выражение для выходного сигнала напряжения с помощью интеграла свертки:

,

причем можно записать

. (7.5.2)

Первое слагаемое правой части (7.5.2) соответствует установившемуся режиму, второе слагаемое обусловлено переходным процессом, имеющим место в интервале от момента времени t, в который определяем отклик, до t = ∞.

В тех случаях, когда, благодаря медленному изменению u_вх(t), второе слагаемое достаточно мало, можно приближенно считать

. (7.5.3)

Соотношение (7.5.3) приближенно выполняется при двух допущениях:

1) если представить , то , где b_k – наименьший по модулю действительный корень характеристического уравнения цепи M(p) = 0 (или модуль наименьшей действительной части при комплексных корнях);

2) u_вых определяем для t > 2|b_k|.

Эти допущения соответствуют очевидному предположению о том, что «условные постоянные времени воздействия» больше максимальной постоянной времени цепи .

Разложим в ряд Тейлора u_вх(t  τ) относительно времени t

(7.5.4)

Подставим (7.5.4) в (7.5.3):

Но определяется по переходной характеристике цепи. Дифференцируя по параметру s, заменяя t на τ и придавая s значение нуль, получаем соотношения:

; …

Таким образом, выходной сигнал при медленно изменяющемся входном можно найти по следующей приближенной формуле (с учетом h₁(0) = 0):