Примеры решения задач

Пример 1. Определить вторую космическую скорость υ₂ ракеты, запущенной с поверхности Земли.

Примечание. Второй космической (или параболической) скоростью υ2 называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле тяготения Земли).

Решение. При удалении тела массой т в бесконечность его потенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энер­гии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Согласно определению второй космической скорости, кине­тическая энергия в бесконечности также равна нулю. Таким обра­зом, в бесконечности Т∞=0 и П∞ =0. В соответствии с законом сохранения энергии в механике

, или ,

где М — масса Земли. Отсюда находим Преобразуем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R:

Так как (где g — ускорение свободного падения у поверхности Земли), то

Подставив в эту формулу значения g и R и произведя вычисле­ния, получим

Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для за­пуска в вертикальном направлении. При какой минимальной ско­рости υ₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли ? Силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Решение. Чтобы определить минимальную скорость V₁ ра­кеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию T₁. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой дей­ствуют только консервативные силы.

Систему ракета — Земля можно считать замкнутой. Единствен­ная сила, действующая на систему,— сила гравитационного взаи­модействия, являющаяся консервативной.

В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему от­счета, так как только в такой системе справедливы законы динами­ки и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В рассматриваемом случае центр масс системы ракета — Земля будет практически совпадать с центром Земли, так как масса М Земли много больше массы m ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать практически инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем

(1)

где T₁ и П₁ — кинетическая и потенциальная энергия системы раке­та — Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Т₁ и П₂ — те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому T₁ есть просто начальная кинетическая энергия ракеты: . Потенциальная энергия системы в начальном состоянии * .

По мере удаления ракеты от поверхно­сти Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетиче­ская — убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₁ станет равной нулю, а потенциальная энергия П₂ достигнет макси­мального значения:

Подставив значения T₁, П₁, T₂ и П₂ в выражение (1), получим

откуда после сокращения на m найдем

Заметив, что (g — ускорение свободного падения у по­верхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости (см. пример 1). Подставив числовые значения величин и произведя вычисления, получим

Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гра­витационного взаимодействия Земли и тела массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли за пределами ее поверхности. По­строить график П(r).

Решение. Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гра-

витационные силы консервативны) связана с силой следую­щим соотношением:

* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, беско­нечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю

где i, j, k — единичные векторы осей координат (орты); —частные производные потенциальной энергии по соот­ветствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сфе­рической симметрией, это выражение упрощается. Если ось х совместить с радиусом-вектором r, направленным по радиусу сферы,

т о и обращаются в нуль и тогда . Так как ве-­ кторы r и i совпадают (рис. 4.3) и П зави-­ сит только от r, то

(1) Запишем в векторной форме закон все­ мирного тяготения:

Рис.4.3 (2)

где G — гравитационная постоянная; М — масса Земли.

Сравнивая выражения (1) и (2), найдем откуда

Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим

где С — постоянная интегрирования.

Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произволь­ной постоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом случае запишем

Соответствующая зависимость П(r) изображается графиком, представленным на рис. 4.4.

2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на

поверхности Земли, то и тогда

Но так как r=R+h, где h — высота тела над поверхностью Земли, то

Если , то , или, так как ,

Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой m переме­щается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость v₂ тела в точке 2, если в точке 1 его скорость

Ускорение свободного падения g считать известным.

Решение. Система те­ло — Земля является замкнутой, в которой действует

Рис. 4.5

Рис. 4.4

консервативная сила — сила гравитационного взаимодействия. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальную систему отсчета свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать

E₁=E₂, или T₁+П₁=Т₂+П₂,

где T₁, П₁ и Т₂ , П₂ — соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр масс системы тело — Земля практически совпадает с центром масс Земли , и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конечном состояниях равна нулю. Тогда

Подставив эти выражения в (1), получим

Заменив и произведя сокращения, найдем + , откуда

Так как (по условию задачи), то

Произведя вычисления, получим

Пример 5. Вычислить работу А₁₂ сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой m=10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Радиус R земли и ускорение g свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными.

Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением ΔП потенциальной энергии. Так как силы системы — гравитационные — относятся к силам консерва­тивным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциаль­ной энергии, т. е.

(1)

где П₁ и П₂ — потенциальные энергии системы тело — Земля соот­ветственно в начальном и конечном ее состояниях.

Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии r потенциальная энергия

выразится равенством , где М — масса Земли.

Для расстояний r₁=3R и r₂=2R, заданных в условиях задачи (рис. 4.5), получим два выражения потенциальной энергии:

Подставив эти выражения П₁ и П₂ в формулу (1), получим

Заметив, что , преобразуем последнее выражение к виду

Подставив значения т, g, R в это выражение и произведя вычисления, найдем

Пример 6. Верхний конец стального стержня длиной l = 5 м с площадью поперечного сечения S = 4 см2 закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой т = 2-103 кг. Определить: 1) нор­мальное напряжение а материала стержня; 2) абсолютное х и относительное ε удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня.

Решение. 1. Нормальное напряжение материала растяну­того стержня выражается формулой σ=F/S, где F — сила, дейст­вующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести mg и поэтому можем записать

Сделав вычисления, найдем

2. Абсолютное удлинение выражается формулой

где Е — модуль Юнга.

Подставив значения величин F, l, S и Е в эту формулу (значе­ние E взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим

Относительное удлинение стержня

3. Потенциальная энергия растянутого стержня , где V — объем тела, равный Sl. Поэтому

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

N=12,1 Дж.

Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту h, на которую поднимается пуля массой m = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом на х = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) яв­ляется замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

E₁=E₂ , или T₁+П₁=T₂+П₂, (1) где T₁ и T₂ — кинетические энергии системы в начальном и конеч-­ ном состояниях; П₁ и П₂— потенциальные энергии в тех же состоя­- ниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном со­стояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид

П₁= П₂. (2)

Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее по­верхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е.

, а в конечном состоянии — потенциальной энергий пули на высоте Л, т. е.

Подставив приведенные выражения П1 и П2 в формулу (2), найдем

Произведя вычисления по последней формуле, получим h=5 м.

Задачи