4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
Для простоты будем рассматривать одномерные процессы теплопроводности. Они имеют место, например, в длинном и тонком металлическом стержне (рис. 4.1), нагреваемом с одного из торцов, при условии, что стержень изотропен, его начальная температура в любом поперечном сечении не зависит от (это же свойство должно соблюдаться и на торцах стержня), а потерями тепла с боковой поверхности можно пренебречь. Будем считать также, что теплоемкость стержня постоянна.
Рис. 4.1
Тогда температура зависит только от и , и ее распространение вдоль стержня в различные моменты времени описывается уравнением
, (13)
справедливым
при
,
.
Для определения функции
,
т.е. решения, достаточно задать начальную
температуру стержня:
,
, (14)
и знать температуру на концах стержня в любой момент времени:
,
,
. (15)
Задача
(13) – (15) называется первой
краевой задаче
для параболического уравнения (13) на
отрезке
.
Физически, условие (15) соответствует
тому, что на концах стержня с помощью
каких-то внешних источников тепла,
поддерживается определенная температура,
зависящая, вообще говоря, от времени.
Если же на торцах стержня задаются вместо (15) потоки тепла как функции времени:
,
,
, (16)
то
такая задача называется второй
краевой задачей
на отрезке
.
Данная ситуация реализуется, например,
когда торцы стержня нагреваются лучами
лазерного света известной мощности.
Более
сложный (нелинейный) вариант условий
на торцах отвечает сильно нагретому и
поэтому излучающему энергию стержню,
не контактирующему с какими-либо телами.
Тогда в единицу времени стержень теряет
на своих границах (торцах) энергию,
равную
и
соответственно,
и вместо (15) или (16) получаются условия
,
,
. (17)
где
.
Возможны также и иные виды краевых условий, соответствующие иным физическим ситуациям. Разумеется, допустимы различные комбинации условий (15) – (17), например, на левой конце известна температура, а на правом поток темпа, и т.д.
Разнообразие постановок краевых условий теплопередачи связано с различными идеализациями исходной задачи (13) – (15). При анализе распространения тепла около одного из торцов длинного стержня в течение сравнительно короткого времени влиянием другого торца можно пренебречь. Вместо (15) достаточно задать лишь одно из условий (для определенности на левом конце):
, , (18)
и
решать уравнения в области
((13), (14), (18) – первая краевая задача в
полупространстве). Обсуждавшаяся на
примере уравнения Буссинеска задача
Коши рассматривается во всем пространстве
.
Для уравнения (13) лишь задается начальное
распределение температуры (14). Такая
постановка вполне разумна, когда
рассматриваются процессы в центральной
части стержня и влияние обоих торцов
можно считать несущественным.
Для многомерных уравнений теплопроводности постановка краевых условий по сравнению с одномерным случаем существенно не меняется: на границах области задаются либо температура, либо поток тепла, либо какие-то более сложные их комбинации, а также (в момент времени ) начальное распределение температуры.