Вказівки до розв’язування деяких задач типового варіанту

Послідовність поданих нижче зразків розв’язання взята відповідно до першого варіанта. В інших варіантах вона змінена.

Посилання на таблицю інтегралів скорочено подається в дужках, наприклад [T3 (10)] – таблиця 3 формула 10. Також, наприклад, (2.7)– означає розділ 2 пункт 7.

До задачі 9

Приклад 1.Варіант “0”:

Скористаємось заміною змінної

1)

2. Заміна

Перейдемо під знаком інтеграла до змінної t, отримаємо:

Наведемо ще один приклад такого типу.

Аналогічно попередньому виконаємо:

2. Заміна

3. Перехід до нової змінної:

Після заміни маємо

До задачі 10.

Варіант 0. Обчислити площу фігури обмеженою параболою і прямою .

Розв’язання. Для наочності використаємо рисунок. Знаходимо точки перетину параболи і прямої.

До задачі 11

Варіант “0”: 1.Обчислити площу фігури, обмеженої лемніскатою (див.рис.)

Pозв’язання. Через те, що фігура симетрична, то для її четвертої частини (заштрихована) кут змінюється від 0 до . Тому

2. Обчислити площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди (див.рис.) і віссю

Pозв’язання. За формулою в 3.1.2 маємо

3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

(див.рис.)

Pозв’язання. Згідно формули в 3.1.1,5 маємо:

До задачі 12

Варіант “0”: 1.Обчислити об’єм тіла обертання параболи навколо вісі .Відповідь перевірити за формулою 4 в 3.3.2.

Pозв’язання. Парабола перетинає вісь в точках (див.рис.)

За формулою (1) в II, 3.3.2 маємо

Перевірка. За формулою (4) в II, 3.3.2

До задачі 13

Варіант “0”: Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням фігури Ф навколо вказаної вісі координат.

1. 

Pозв’язання.

За формулою (1) II, (3.3.2) маємо

2.

Pозв’язання.

За формулою (2) в II, (3.3.2) маємо

тому

3. 

Pозв’язання. Дана лінія-циклоіда

За формулою (3) (див.3.3.2) маємо

280