2. Дискретные случайные величины

● Закон распределения случайной величины

43. Случайная величина принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность .

44. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы и вероятность .

● Независимые дискретные случайные величины

45. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

46. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

47. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

49. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: – от до , – от до . Найдите , если известно, что возможные значения и равновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите .

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.

52. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность того, что примут разные значения.

53. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность .

55. Дискретная случайная величина принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание и вероятность .

56. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите дисперсию .

57. Распределение случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение и вероятность .

58. Для случайной величины известно, что , , . Найдите дисперсию .

59. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

60. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

61. Дискретные случайной величины распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

62. Независимые случайные величины принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.

63. Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .

64. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

65. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

66. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросаются точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .

68. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .

69. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

70. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

71. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. точек последовательно бросаются наудачу на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

72. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

73. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами , – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть – время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .

77. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

78. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

79. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .

80. Случайная составляющая выручки равна , где – биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а .

81. Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .

● Ковариация и коэффициент корреляции

82. Даны математические ожидания случайных величин и : , , их дисперсии , и ковариация Cov . Найдите математическое ожидание и дисперсию .

83. Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции и равен .

84. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

86. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

87. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите , если и , а коэффициент корреляции и равен .