Разложим первый определитель в (2.7.4.3) по последнему столбцу, получим
.
Следовательно,
.
Для
верно
аналогичное соотношение
,
поэтому
.
Продолжая
раскрывать определители
,
и т.д., в итоге получим
.
Пример 2.7.4.3. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Разложим определитель по последнему столбцу, получим
,
а определитель
вычислим аналогично определи-телю
из примера
2.7.4.1. В
итоге получим, что
.
У п р а ж н е н и я.
Вычислить определители
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
.
2.7.5. Вычисление определителей трехдиагональных матриц
Матрицей
Якоби
(или трехдиагональной матрицей)
называется квадратная матрица
с
действительными
элементами
,
равными
нулю
при
.
Обозначим
через
диагональные
элементы
,
и
,
тогда
матрица Якоби имеет вид
.
Интерес к матрицам
такого рода вызван тем, что они появляются
при решении различных матричных задач,
например, при решении дифференциальных
уравнений разностными методами. Мы
рассмотрим случай, когда
,
,
,
и покажем
способ вычисления определителей таких
матриц.
Вычисление определителей матриц Якоби основан на методе рекуррентных соотношений. Итак, пусть дан определитель
.
Обозначим этот
определитель через
(
--- размер
матрицы
).
Раскрывая этот определитель по последней
строке и последнему столбцу, получим
.
(2.7.5.1)
Главная задача
заключается в том, чтобы найти явное
выражение для
.
Уравнение (2.7.5.1) является однородным
разностным уравнением, поэтому решение
уравнения (2.7.5.1) будем искать в виде
.
Подставляя
в (2.7.5.1), получим
или
.
(2.7.5.2)
Возможны три случая.
1) Решения уравнения
(2.7.5.2)
и
различны и вещественны. В этом случае
общее решение (2.7.5.1) имеет вид
,
где
и
являются решением системы
.
2)
и
вещественно. Тогда
,
а
и
являются решением системы уравнений
.
3)
и
– комплексно сопряженные числа, т.е.
Тогда
,
а константы
и
находятся из системы уравнений
.
Определение 15.
Последовательность чисел
,
задаваемая рекуррентным соотношением
,
,
,
называется последовательностью
чисел Фибоначчи.
В 19-м веке французский математик Ж. Бине получил явную формулу для чисел Фибоначчи
.
Пример 2.7.5.1 (числа Фибоначчи). Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Раскладывая
определитель
по последней строке, получим
.
Разлагая первый определитель суммы по последнему столбцу, получим
.
(2.7.5.3)
Характеристическое
уравнение (2.7.5.2) имеет вид
,
корни которого
.
Таким образом,
.
Константы и найдем из системы уравнений
или
,
откуда
,
и
.
Мы получили формулу Бине для чисел Фибоначчи .
Пример 2.7.5.2. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Для
очевидным образом выполняется
рекуррентное соотношение
.
(2.7.5.4)
Характеристическое
уравнение для (2.7.5.4) имеет вид
,
корни которого
.
Тогда
,
а константы
и
являются
решением системы
,
откуда
,
,
а
значит,
.
Пример 2.7.5.3. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Для
имеет место рекуррентное
соотношение
(2.7.5.5)
Для
для
Тогда
0
.
Докажем методом математической индукции, что
Пусть для некоторого
доказано, что
Тогда
У п р а ж н е н и я.
Вычислить определители трехдиагональных матриц
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;