Следствия из основной теоремы зацепления

1. Для постоянства передаточного отношения , необходимо чтобы отношение отрезков

было постоянным, а это возможно, если межосевое расстояние O₁O₂ неизменно и точка Р должна занимать на межосевой линии одно и то же положение. Это теоретически возможно в двух случаях :

а) нормали к контактирующим профилям в процессе зацепления образуют пучок прямых, проходящих через точку Р-полюс зацепления (рис. 3 а); это свойство используется в циклоидальном зацеплении (применя­ется в механизмах приборов, часовых механизмах );

б) линия нормали занимает неизменное положение, а точка контакта профилей перемещается вдоль неё (рис. 3 б); это свойство характерно для зацепления эвольвентных профилей.

2. Проекции скоростей точек контакта звеньев на общую касательную - не равны при равенстве проекций на общую нормаль n-n : K₁К₂ при С₁ = С₂ . А это значит, что профили при движении проскальзывают. Это яв­ление безусловно отрицательное, поскольку происходит износ профилей. При проектировании передач про­скальзывание профилей стараются уменьшить.

Эвольвентное зацепление

Наиболее распространенным в технике является эвольвентное зацепление. Названо так потому, что боковые профили зубьев выполнены по эвольвенте. Эвольвентное зацепление предложено Эйлером (1707-1783) во второй половине XVIII века. Получило широкое распространение вследствие простоты изготовления эволь-вентных зубьев.

Эвольвента и ее свойства

Изобразим окружность, которую будем считать неподвижной (рис. 4). Проведем прямую касательную к этой окружности. Точку касания обозначим А₀ . Если обкатывать эту прямую по окружности без скольжения, то точка а₀ прямой опишет некоторую кривую. Траектория точки А₀ и есть эвольвента. Прямую можно обка­тывать в двух направлениях. При этом будет образовано две ветви эвольвенты. Точка А₀ - начало эвольвенты -называется точкой заострения эвольвенты.

Рисунок 4 — Образование эвольвенты

Окружность, по которой катится прямая линия, образующая эвольвенту, называется основной окружностью (основа эвольвенты).

Стандартное обозначение радиуса основной окружности - r_b .

Прямая, обкатывающаяся без скольжения по основной окружности, называется производящей прямой.

Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает любая точка прямой линии, катящейся по окружности без скольжения. Эвольвента – это спиралеобразная кривая, имеющая две ветви с точкой заострения на основной окружности.

Боковая поверхность зуба представляет собой звольвентную поверхность, которую образует траекто­рия прямой линии находящейся на плоскости, катящейся по основному цилиндру без скольжения. Образование эвольвентной поверхности может быть представлено следующим образом. На барабан (основной цилиндр) на­мотана лента. Если с неподвижного барабана сматывать ленту, то конец ленты (и любая прямая на ленте ) будет описывать эвольвентную поверхность.

Основные свойства эвольвенты

1. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности. Прямая, образующая эвольвенту, катится по внешней стороне основной окружности и внутри ее не может быть точек эвольвенты. Точка А₀ - начало эволь­венты на основной окружности.

2. Форма эвольвенты полностью определяется радиусом основной окружности r_b и не зависит от ос­тальных параметров. Если мы возьмем другую прямую или другую точку на прямой, то она опишет точно та­кую же траекторию - эвольвенту. Все эвольвенты одной и той же основной окружности одинаковы.

3. Нормаль к эвольвенте в любой ее точке касательна к основной окружности. Докажем это.

Проведем основную окружность радиуса r_b с центром в точке О (рис. 5). С точки А₀ построим эволь­венту. Через произвольную точку М на эвольвенте проведем касательную к основной окружности. Точку каса­ния обозначим N. Так как образующая прямая катится по неподвижной окружности, то точка N является мгновенным центром скорости точки М, а, следовательно, MN - мгновенный радиус вращения точки М. Скорость пер­пендикулярна MN- мгновенному радиусу вращения. Но в то же время является касательной к траектории

точки М - эвольвенте. MN  , а это значит, что касательная к основной окружности является нормалью к эвольвенте.

Рисунок 5 - Свойство нормали к эвольвенте

4. Радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке равен отрезку нормали, заключенном между эвольвентой и точкой касания нормали с основной окружностью. Это свойство вытекает из предыду­щего. Абсолютная линейная скорость точки М перпендикулярна радиусу кривизны МN траектории точки М. Следовательно MN = _м. В любой другой точке М_i радиус кривизны _i равен отрезку М_iN_i. В точке А₀ радиус кривизны эвольвенты равен нулю. Это точка заострения эвольвенты.

5. Расстояния по нормали между двумя эволвентами одной и той же основной окружности всюду одинаковы и равны расстоянию между началами эвольвент по дуге основной окружности. Изо­бразим две одноименные эвольвенты Э₁ и Э₂ одной и той же основной окружности, образованные двумя точками А и В одной и той же образующей прямой (рис. 6). Если образующую обкатывать в обратном направлении

по основной окружности, то в некоторый момент времени точки А₂ ,В₂ совместят­ся с точками а₁ , B₁, а затем с точками А₀,В₀. Следовательно:

В₀

1

.

Рисунок 6 - Расстояния между эвольвенты по нормалям

6. Расстояния между двумя одноименными эвольвентами, измеренные по дугам концентриче­ских окружностей, пропорциональны радиусам этих окружностей.

Изобразим основную окружность радиуса r_b с центром О. Построим две одноименные эволь­венты Э₁ и Э₂ с началом их в точках А₀, В₀ (рис. 7). Проведем концентрическую окружность радиуса r₁ и точки пересечения ее с эвольвентами обозначим A₁, B₁. Соединим все точки с центром окружности О. Повернем эвольвенту Э₂ до совмещения с эвольвентой Э₁. Поскольку это одноименные эвольвенты, то при совмещении точек А₀ с В₀ должны совместится точки A₁ и В₁ . Следовательно угол поворота точки В₀ по дуге основной окружности до совмещения с точкой А₀ () должен быть равен углу поворо­та точки В₁ по дуге окружности радиуса r₁ до совмещения с точкой а₁.

Рисунок 7 — Расстояния между эвольвентами по дугам концентрических окружностей

Определим длины дуг через их радиусы и углы поворота (в радианах):

.

,

Эта зависимость применяется для определения шага зубьев эвольвентного колеса по дугам различных окружностей.

7. Угол давления эвольвенты в любой ее точке – это угол между направлением силы нормаль­ного давления и направлением абсолютной скорости данной точки.

И зобразим основную окружность радиуса r_b с центром в точке О и построим эвольвенту с на­чалом в точке а₀ (рис. 8). Точку А₀ соединим с центром О основной окружности. На эвольвенте выбе­рем некоторую произвольную точку A₁. Передача движения при зацеплении эвольвент происходит за счет сил давления. Сила давления направлена по нормали к контактирующим профилям (касательной к основной окружности ). Проведем нормаль n-n и изобразим вектор силы давления Р. Точку касания нормали к основной окружности В₀ соединим с О. Абсолютная скорость точки A₁, если колесо враща­ется вокруг центра О с угловой скоростью , направлена по касательной к траектории точки - окруж­ности радиуса r_x(OА₁). Соединим A₁ с центром О и в точке A₁ приложим вектор скорости . Угол

между направлением силы Р и скорости обозначим _х (угол давления).

Рисунок 8 – Угол давления эвольвенты

Рассмотрим центральный угол  A₁OB₀. Этот угол равен углу давления _x, так как стороны его пер­пендикулярны направлениям векторов силы и скорости: OA₁ ; OB₀  . Таким образом, центральный угол

между радиусом, проведенным в точку касания нормали к эвольвенте с основной окружностью, и радиусом, проведенным в данную точку эвольвенты, равен углу давления.

В точке А₀ угол давления равен нулю.