Определение степени подвижности пространственной кинематической цепи

Пусть мы имеем n звеньев, из которых собирается кинематическая цепь. Пока звенья не соединены в кинематические пары, каждое из них имеет шесть степеней свободы (степеней подвижности). Все звенья до соединения в кинематическую цепь следовательно имели 6n степеней подвижности. После сборки звеньев в кинематическую цепь мы получим кинематические пары различных классов (с разными степенями подвижности). Предположим, что наша кинематическая цепь имеет кинематические пары всех пяти классов. Примем следующие обозначения:

Р₅- количество кинематических пар пятого класса в образованной нами кинематической цепи,

Р₄ - количество кинематических пар четвёртого класса,

Р₃- количество кинематических пар третьего класса,

Р₂- количество кинематических пар второго класса,

Р₁- количество кинематических пар первого класса.

Каждая кинематическая пара ограничивает перемещение звеньев, отбирает у них столько степеней свободы, как её класс. Каждая кинематическая пара 5 класса отбирает у звеньев 5 степеней свободы. Все пары пятого класса отнимут у звеньев 5Р₅ степеней свободы, четвёртого класса - 4Р₄, третьего - 3Р₃, второго - 2Р₂, первого - 1Р₁. Если из общего количества степеней свободы звеньев 6n вычесть все потерянные степени свободы, получим число степеней подвижности кинематической цепи W:

W=6n-5P₅-4Р₄-3Р₃-2Р₂-1P₁. (1)

Определение степени подвижности механизма

Степенью подвижности механизма называется количество независимых координат, которые необходимо задать для определения положений звеньев механизма в системе координат, жестко связанной со стойкой.

Механизм отличается от кинематической цепи тем, что у него одно звено полностью закреплено. Закрепленное звено потеряло все шесть степеней свободы. Следовательно в механизме число подвижных звеньев равно n-1. Подставив в формулу (1) количество подвижных звеньев n-1, получим формулу для определения степени подвижности механизма:

W=6(n-1)-5P₅-4Р₄-3Р₃-2Р₂-1P₁. (2)

Формула (2) впервые была получена Малышевым для пространственных механизмов.

Рассмотрим формулу Малышева для определения степени подвижности плоских механизмов. Все звенья плоского механизма могут иметь три степени подвижности, а кинематические пары соответственно могут иметь 1 или 2 степени подвижности. Если плоские кинематические пары рассматривать по классам, то они могут быть только пятого и четвёртого классов. При этом необходимо учесть, что общее количество степеней подвижности всех звеньев плоского механизма равно 3(n-1). Пары пятого класса теряют две степени подвижности, четвёртого –одну. Таким образом степень подвижности плоского механизма может быть определена по формуле:

W=3(n-1)-2P₅-Р₄. (3)

Формула (3) для определения степени подвижности плоского механизма впервые была получена Чебышевым П. Л.

В зависимости от числа общих условий связей, накладываемых на механизм, механизмы подразделяют на семейства.

Семейства механизмов и их структурные формулы приведены в таблице 1.

Таблица 2.1 Структурные формулы различных семейств механизмов

Семейство	Структурная формула	Примечание
0 I II III IV	W=6(n-1)-5P5-4Р4-3Р3-2Р2-1P1 W=5(n-1)-4P5-3Р4-2Р3-Р2 W=4(n-1)-3P5-2Р4-Р3 W=3(n-1)-2P5-Р4 W=2(n-1)- P5	Сомова- Малышева Чебышева Добровольского

Рассмотрим применение структурной формулы Чебышева П. Л. на конкретном примере. На рисунке 5 изображен шарнирный четырёхзвенник.

1^е- звено- кривошип- совершает вращательное движение вокруг оси О (полный оборот);

2^е- звено АВ- шатун- совершает плоско- параллельное движение;

3^е- звено ВС- коромысло (или балансир)- совершает возвратно- вращательное движение вокруг оси С (неполный оборот);

4^е- звено ОС- стойка (станина)- неподвижное звено.

Количество звеньев n=4. Кинематические пары: 4-1, 1-2, 2-3, 3-4. Имеем 4 одноподвижные пары 5^го класса. Относительное движение всех звеньев плоское. Механизм плоский. Определяем степень подвижности его по формуле Чебышева П. Л.:

W=3(n-1)-2P₅-Р₄=3(4-1)-24-0=1.

Механизм имеет степень подвижности равную 1. Это значит, что достаточно задать одну координату любому звену механизма в системе координат, жестко связанной со станиной, чтобы определить положения всех остальных звеньев. Например, в нашем случае достаточно задаться углом поворота кривошипа ₁.