Тема 3 Нестационарные процессы теплопроводности

3.1 Основные положения

Процессы теплопроводности, когда поле температуры в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени называют нестационарными.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения.

К первой группе относятся процессы прогрева или охлаждения тел, помещенных в среду с заданным тепловым состоянием (прогрев болванки в печи, охлаждение закаливаемой детали).

К о второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например, в регенераторах, насадка которых то нагревается дымовыми газами, то охлаждается воздухом.

По мере нагрева температура в каждой точке приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени нагрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок она будет равна нулю.

В условиях передачи теплоты через стенку при внезапном изменении температуры одного из теплоносителей не вся теплота будет передаваться через стенку: часть ее уйдет на изменение внутренней энергии самой стенки. Нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.

3.2 Аналитическое описание процесса

Аналитическое описание процесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности. Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты

.

Условия однозначности задаются в виде:

физических параметров , с, ;

формы и геометрических размеров тела l_0…l_n;

температуры тела в начальный момент времени .

Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции

.

Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и условиям однозначности.

3.3 Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины

Дана пластина толщиной 2 . Коэффициент теплоотдачи для всей поверхности пластины постоянен. Изменение температуры происходит только в одном направлении координаты х, т.е. , а следовательно, задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x,0)=f(x). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой t_ж=const. Отсчет избыточной температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды .

Дифференциальное уравнение теплопроводности

.

Начальные условия:

при .

При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины.

Тогда граничные условия запишутся:

на оси пластины при х=0 ;

на поверхности пластины при х= .

После решения дифференциального уравнения получаем, что безразмерная температура является функцией только двух безразмерных параметров:

для оси пластины ;

для поверхности пластины ,

где - число Фурье, представляющее собой безразмерное время,

- число (критерий) Био.

Критерий Био представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления процесса теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению процесса теплоотдачи.

Число Био называют критерием массивности. В зависимости от числа Ві тела подразделяются на термически тонкие (Bi<0,1) и термически массивные (Bi>100). Характер распределения температуры в теле можно определить в зависимости от численного значения числа Био. Рассмотрим три случая.

1. Bi→∞ (практически Bi>100). Если Bi→∞, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Точка пересечения касательных к температурным кривым находится на поверхности пластины.

Из следует: Bi→∞ при заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда →∞, т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и размерами тела (внутренняя задача).

2. Bi→0 (практически Bi<0,1). Из видно, что Bi→0 при малых размерах толщины пластины, большом значении коэффициента теплопроводности и малых значениях коэффициента теплоотдачи .

При малых Bi температура на поверхности пластины незначительно отличается от температуры его оси, т.е. температура по толщине пластины распределяется равномерно.

В этом случае процесс нагрева и охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Т.е. пути повышения интенсивности охлаждения следует искать во внешних условиях (внешняя задача).

3. Число Ві находится в пределах <100. Температурные кривые для любого момента времени будут выглядеть, как показано на рис. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическим сопротивлением.