Модуль 5 Основные законы распределения случайных Величин

§ 1 Биномиальный закон распределения

Случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0, 1, 2, … , а вероятность того, что выражается формулой:

,

где есть вероятность наступления события А при одном испытании, .

Числовые характеристики биномиального закона распределения:

, .

§ 2 Закон Пуассона

Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, , …, а вероятность того, что выражается формулой:

,

где - параметр закона Пуассона.

Числовые характеристики закона Пуассона:

, .

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Доказано, что если известна постоянная интенсивность потока , то вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой:

.

Пример 5.1.

Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 ч., равно трем. Найти вероятность того, что за 2 ч. поступит 5 заявок. Предполагается, что поток заявок простейший.

Решение.

По условию , , . Воспользуемся формулой

.

Искомая вероятность того, что за 2 ч. поступит 5 заявок, равна

.

§ 3 Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной в интервале , если ее плотность распределения в этом интервале постоянна, а вне его равна нулю:

Числовые характеристики равномерного закона распределения:

, .

График дифференциальной функции равномерного распределения.

f(x)

1/(α-β)

α β x

Рис.5.1.

§ 4 Показательный закон распределения

Показательным называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид:

где — параметр показательного распределения.

График дифференциальной функции показательного распределения:

f(x)

λ

0 х

Рис.5.2.

Числовые характеристики показательного распределения:

; .

Интегральная функция .

§ 5 Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения. Главная его особенность в том, что он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.

Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной, если ее плотность распределения равна:

,

где — математическое ожидание;

— среднее квадратическое отклонение.

График дифференциальной функции нормального закона распределения (нормальная кривая или кривая Гаусса) имеет вид:

m-σ m m+σ x

Рис.5.3.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение в интервале , выражается формулой:

,

где — функция Лапласа: .