3. Распределения непрерывной случайной величины (нсв)

Для НСВ функция распределения F(x) – непрерывна. В качестве полной характеристики НСВ применяют либо F(x), либо плотность вероятности f(x) (ее называют также плотностью распределения).

Определение. Плотностью вероятности называется функция f(x), являющаяся производной от функции распределения, т.е. . Она определена на интервале за исключением точек, где не существует.

Если задана f(x) , то .

Свойства f(x): 1. ; 2. ;

3.

если – мало, где х₁<х₀<х₂.

Пример .В качестве распределения времени до отказа ХТ при испытании или эксплуатации радиоаппаратуры (обычно в расчетах изделий на надежность) часто используют экспоненциальное (рис.3, рис.4):

где а параметр t_ср представляет собой среднее время работы изделия с момента начала испытаний или эксплуатации до его первого отказа.

рис.3 рис.4

Здесь p – вероятность попадания СВ Т в интервал и означает долю ненадежных изделий, если критерий ненадежности: .

Понятие «надежность» можно распространить и на системы управления социально-экономическими процессами. Под отказом системы можно понимать, например, заболевание специалиста.

Понятие плотности вероятности понадобилось ввести для НСВ из-за того, что вероятность P(x)=0 при х (на практике это не так только потому, что измерения всегда округляют). Действительно, если воспользоваться четвертым свойством F(x), обозначив х=х₁, х₂=х+∆х, то получим:

при ∆х→0.

4. Числовые характеристики случайной величины

В предыдущем примере среднее время работы изделия до отказа t_ср является одной из важных числовых характеристик, называемой математическим ожиданием. Математическое ожидание является центром группирования значений x_i случайной величины Х. Имеются и другие важные характеристики. Обобщенными числовыми характеристиками случайной величины Х называют:

1) Начальный момент k - го порядка (для ДСВ и НСВ):

,

где ≡ МХ – математическое ожидание СВ Х. В случае бесконечного числа возможных значений x_i вместо n здесь и далее надо поставить знак .

2) Центральный момент k - го порядка:

,

где ≡ DХ – дисперсия СВ X. Величина называется средним квадратическим отклонением (СКО). Это – характеристики (показатели) рассеяния (разброса) значений СВ вокруг математического ожидания ≡ МХ.

Примечание. В случае затруднений с вычислением моментов по этим формулам можно применить описанный в учебниках метод производящих (характеристических) функций. Для типовых распределений f(x) нужную информацию можно получить в справочниках или из пакетов компьютерных программ.

Важными числовыми характеристиками являются также:

1) Медиана – μ. Это такое значение случайной величины Х, которое удовлетворяет уравнению: P(X<μ)=0,5. Для дискретных СВ медианы может не быть. Для непрерывных СВ медиана разделяет площадь под кривой f(x) пополам.

2) Мода (наивероятнейшее значение СВ) – m₀. Это такое значение, вероятность которого (для ДСВ) или плотность вероятности при котором максимальна. Мода может быть не одна, а может и отсутствовать вовсе.

3) Квантиль – х_р. Это такое значение СВ, которое удовлетворяет уравнению: P(X< х_р) = p при заданном значении вероятности p. Для дискретных СВ квантиль может отсутствовать. Медиана является частным случаем квантили.

Конкретные числовые (вероятностные) характеристики приведены в табл.2. Здесь указаны также статистические аналоги, которые при увеличении числа испытаний до  сходятся по законам больших чисел к вероятностным характеристикам. Например, среднее арифметическое при n   стремится к математическому ожиданию МХ. Термин “числовая характеристика” здесь употребляется как синоним термину “параметр”, хотя, строго говоря, числовая характеристика СВ – это не только наименование параметра, но и его значение.

Таблица 2

Наименование числовой характеристики	Обозначения и формулы: специальные и общие для ДСВ и НСВ	Статистический аналог (статистическая характеристика)
1. Математическое ожидание
2. Дисперсия
3. СКО
4. Коэффициент вариации
5. Коэффициент асимметрии
6. Коэффициент эксцесса	(EX>0 для более островершинных f(x) по сравнению с нормальной плотностью вероятности)
7. Медиана	–корень уравнения: F() = 0,5	если n=2k–1 если
8. Мода (наивероятнейшее значение)	, в т. ч. локальные максимумы
9. Доля приемлемых (неприемлемых) значений СВ	p=F(b) – F(a), a,b) –интервал приемлемости значений СВ	Частость , где m – число значений из a,b)
10. Квантиль (для НСВ)	– корень уравнения (при р=0,25; 0,5; 0,75 – квартили, при р= 0,1; 0,2;...;0,9 – децили)	если x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn, где {np} – округленное значение величины np.