3.3 Однорідні марківські процеси з дискретними станами та неперервним часом. Стаціонарний режим

Нехай , . Такі процеси називають однорідними . Ймовірності станів визначаються з рівнянь Колмогорова з постійними коефіцієнтами для знаходження розв’язків таких рівнянь на практиці застосовується перетворення Лапласу.

Розглянемо процес, весь простір часу якого є ергодичним, тобто для будь-якої пари станів і знайдеться таке , при якому виконується нерівність:

. (3.9)

Випадковий процес є ергодичним, якщо існує границя

, . (3.10)

Транзитивність процесу (існування “маршруту” між будь-якими двома станами) є необхідною умовою існування границі (3.10). Крім того для ергодичності процесу необхідна його однорідність, тобто ймовірність переходу зі стану в стан за час не повинна залежати від того, в якій момент часу система знаходилась в стані , а залежала лише від величини :

. (3.11)

Теорема Маркова стверджує, що будь-який транзитивний однорідний марківський процес зі скінченим числом станів є ергодичним.

Режим функціонування системи , коли ймовірності станів не залежать від ч−асу, будемо називати стаціонарним режимом , а самі ймовірності фінальними (граничними) ймовірностями.

Стаціонарний режим встановлюється в будь-якій ергодичній системі. Час функціонування такої системи можна розбити на два інтервали: та , де − перехідний режим, − стаціонарний режим.