Методические рекомендации к решению задач игрового моделирования ( 258–286)

Для большей наглядности применения теории матричных игр рассмотрим на примере.

Пример. После k лет эксплуатации промышленное оборудование может оказаться в одном из следующих состояний: 1) требуется незначительный ремонт; 2) необходимо заменить отдельные детали; 3) дальнейшая эксплуатация возможна лишь после капитального ремонта. Накопленный на предприятии опыт свидетельствует о том, что вероятности указанных состояний оборудования составляют соответственно 0,3; 0,6; 0,1. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять такие решения: 1) произвести ремонт своими силами, что потребует затрат, равных 2, 6 или 10 ед. в зависимости от состояния оборудования (в затраты включены стоимость ремонта и заменяемых деталей, убытки, связанные с ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования); 2) произвести ремонт при помощи специалистов-ремонтников, что вызовет затраты, равные 10, 4 или 8 ед.; 3) заменить оборудование новым, на что будет израсходовано соответственно 14, 12 или 6 ед. Используя игровой подход, высказать рекомендации по оптимальному образу действий руководства предприятия.

Решение. В рассматриваемой ситуации в качестве игрока А выступает руководство предприятия, обладающее тремя стратегиями: А₁ – произвести ремонт своими силами; А₂ – ремонт производят приглашенные специалисты; А₃ – заменить оборудование. Вторым игроком здесь следует считать «природу» П – комплекс внешних условий, в которых функционировало оборудование в течение k лет и которые определили три возможных состояния П₁, П₂ и П₃, указанных в задаче. «Выигрышами» игрока А будут затраты, связанные с реализацией решений (стратегий) A₁, A₂ и A₃ и составляющие платежную матрицу (таблица 20).

Таблица 20 – Платежная матрица

	П1	П2	П3		αi
А1	-2	-6	-10	-5,2	-10
А2	-10	-4	-8	-6,6	-10
А3	-14	-12	-6	-12,0	-14
qj	0,3	0,6	0,1	-10
βj	-2	-4	-6	-10

Для обоснования рекомендаций руководству предприятия проведем исследование по различным критериям.

Оптимальной по Байесу будет чистая стратегия А₁ так как именно при ней средний выигрыш достигает максимального значения: (таблица 8).

Оптимальной по Вальду чистой стратегией будет А₁ или А₂, так как в этом случае достигается максимин:

.

Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составим по таблице 20 матрицу рисков с элементами (таблица 21).

Таблица 21 – Матрица рисков

	П1	П2	П3
А1	0	2	4	4
А2	8	0	2	8
А3	12	8	0	12

Так, r₁₁ = β₁ – а₁₁ = –2 – (–2) = 0, r₁₂ = β₂ – а₁₂ = –4 – (–6) = 2 и т.д.

Оптимальной по Сэвиджу будет чистая стратегия А₁, так как при ней выполняется условие

Для применения критерия Гурвица выберем γ = 0,6, тогда равенство примет вид

.

Все промежуточные результаты запишем в таблицу 22. Из последнего столбца этой таблицы видно, что максимальное значение h_i равно -6,8 и соответствует чистой стратегии А₁ она и будет оптимальной по Гурвицу.

Таблица 22 – Таблица промежуточных результатов

	П1	П2	П3
А1	-2	-6	-10	-10	-6,0	-2	-0,8	-6,8
А2	-10	-4	-8	-10	-6,0	-4	-1,6	-7,6
А3	-14	-12	-6	-14	-8,4	-6	-2,4	-10,8

Проведенное исследование по совокупности критериев показало, что чаще других оптимальной называлась чистая стратегия А₁; правомерно ее и рекомендовать руководству предприятия для реализации, т.е. произвести ремонт своими силами.