1.3.3. Скорость материальной точки

Поскольку при движении материальной точки изменяется ее положение относительно выбранной системы отсчета, то возникает важный вопрос: Как быстро это положение изменяется? Физической величиной, с помощью которой отвечают на этот вопрос, является скорость.

Скоростью материальной точки называется вектор, равный производной радиус-вектора по времени:

(1.5)

или в проекциях на декартовы координатные оси

, , , (1.6)

.

Так как хорда (рис 1.2), стягивающая дугу траектории l₁₂, в пределе при совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения материальной точки.

В частности, если модуль скорости , то такое движение называется равномерным.

Если детальная характеристика движения за промежуток времени несущественна, то используют средние величины:

– средний вектор скорости

, (1.7)

– модуль скорости

, (1.8)

– средняя скорость

, (1.9)

где S – путь, пройденный материальной точкой за время t. Обратите внимание на то, что – скалярная величина. В общем случае произвольного движения материальной точки .

Часто полезно бывает знать, с какой скоростью изменяется со временем

расстояние между материальной точкой и началом координат (как быстро изменяется модуль радиус-вектора ), и с какой скоростью изменяется направление радиус-вектора относительно осей координат системы отсчета? Ответить на эти вопросы проще всего, если воспользоваться естественной формой представления радиус-вектора

, (1.10)

которая учитывает тот факт, что у любого вектора есть две естественные характеристики: величина и направление. Здесь – орт вектора , то есть вектор, модуль которого равен единице , а направление совпадает с направлением радиус-вектора .

Используя (1.5) и (1.10), получим

. (1.11)

В соотношении (1.11) вектор представлен в виде двух составляющих, первая из которых

(1.12)

характеризует скорость изменения модуля радиус-вектора и направлена вдоль

Рис.1.3

. Вторая составляющая (1.13) характеризует скорость изменения радиус-вектора по направлению и направлена перпендикулярно в сторону его поворота. Действительно, так как , , то из рис. 1.3 следует, что при

(угол поворота радиус-вектора за время ). При этом , значит при . Поэтому . Здесь надо учесть, что . Таким образом,

; .

Выводы: Скорость материальной точки – есть производная радиус-вектора по времени, характеризует быстроту изменения радиус-вектора как по модулю, так и по направлению, направлена по касательной к траектории движения.

Контрольные вопросы

1.4. Покажите, что .

1.5. Может ли при прямолинейном движении выполняться условие . При каком движении выполняется равенство между этими величинами?

1.6. Что вы можете сказать о характере движения и виде траектории, если: а) ; б) ; в) , ; г) , ; д) , .