§3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

=0,05; (k)=0,78. Найти вероятности событий: 1: событие А (Но верна и должна быть принята) ; событие B (Н1 верна, но должна быть отвергнута). Изобразить схематически критические области для каждого из событий (Ответ: Р(А)=0,95; Р(B)=0,22).

Задача 2

=0,13; (k)=0,84. Найти вероятности событий: событие А (Но неверна, но должна принята согласно критерию) ; событие B (Но неверна, и она должна быть отвергнута согласно критерию). Изобразить схематически критические области для каждого из событий (Ответ: Р(А)=0,16; Р(B)=0,84).

Задача 3

Число ошибок в контрольной работе распределено по закону Пуассона с параметром . Объем выборки n=50, среднее количество ошибок (Х- число ошибок) равно 4. Предполагаем, что гипотеза Но: =4. Проверить выполнение альтернативных гипотез Н1: >4; H2: 4 на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 4

Погрузчик на складе ищет месторасположение объектов: в 3 случаях из 10 он находит не те коробки, которые были нужны (Распределение Бернулли). Вероятность найти не «ту» коробку – P(A)=p – неизвестна. Предполагаем, что гипотеза Но: . Альтернативные гипотезы: Н1: >0,3; H2: <0,3; H3: 0,3. Проверить выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 5

На тренировке по баскетболу спортсмен кидает мяч в корзину. Х – число непопаданий мяча в корзину (Распределение Бернулли). Событие А – «непопадание» мяча в корзину. Р(А)=р. Всего он совершил n=40 попыток, и 3 раза промахнулся. Предполагаем, что Но: =0,51, а альтернативные гипотезы: Н1: <0,51; H2: 0,51. Проверить выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 6

В течение года автозавод выпустил 50 крупных партий автозапчастей. Х – количество бракованных единиц в партии (распределено по закону Пуассона). Было проверено партий автозапчастей, и выявлено, что среднее количество бракованных единиц в партии равно 1,1. Предполагаем, что Но: =1; а альтернативные гипотезы Н1: >1; H2: 1. Проверить выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 7

В студии по обработке драгоценных камней считают, что Х – вес алмаза подчиняется нормальному закону: . Подсчитано, что средний вес алмаза (в каратах) равен 0,53. Работники решили проверить 6 алмазов, с целью выяснить, подойдут ли они для новой серии украшений, и подсчитали, что дисперсия S=0,0599, а исправленная дисперсия считается по формуле: . Итак, ювелиры выдвинули гипотезу Но: =0,5; а также две альтернативные гипотезы: Н1: >0,5; H2: 0,5. Чтобы помочь ювелирам определиться с новой линией украшений, проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 8

Менеджер ресторана анализирует счета посетителей (Х – сумма счета посетителя, в рубля – распределена по нормальному закону). Случайным образом были выбраны 50 счетов из общего количества, подсчитано отклонение (дисперсия) по сумме счета: рублей ( неизвестно). Менеджер выдвинул гипотезу Но, что обычно вариация счетов больше 40 рублей, однако руководитель, который хочет ввести новую систему скидок не поверил менеджеру и выдвинул альтернативную гипотезу: вариация суммы счета меньше 40 рублей: . Проверьте, кто из них прав (чья гипотеза выполняется) на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 9

Комиссия по проверке качества на заводе по сборке швейных машинок должна проверить 50 машинок. Х – число возможных неисправностей в одной швейной машинке (распределено на закону Пуассона). Проверка показала, что среднее число ошибок равно 1,64. Выдвинута гипотеза Но: =1,64. Главный техник завода не верит результатам проверки и выдвигает альтернативную гипотезу Н1: 1,64. Проанализируйте, чья гипотеза выполняется на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 10

В налоговой инспекции было проанализировано 100 налоговых деклараций на наличие в них ошибок. Х – число ошибок в декларации, распределенное по закону Пуассона с параметром . Подсчитали, что среднее число ошибок в декларации равно 1,23. Выдвигают нулевую гипотезу Но: =1,5, а также две альтернативные : Н1: 1,5; Н2: >1,5. Проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 11

На чемпионате по покеру проводилось 29 игр, в четырех из которых победил новичок. Событие А – победу одержал новичок, Р(А)= . СВ Х – число выигрышей «новичка». Судья соревнований выдвинул гипотезу Но: =0,57, а конкуренты – альтернативные гипотезы: Н1: <0,57( ); H2: 0,57. Проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости =0,01(=0,1; =0,05).

Задача 12

Игроки кидают карты в шляпу, событие А – карта попала в шляпу (Р(А)= ), СВ Х – число попаданий карты в шляпу – распределена по биномиальному закону. Из 20 попыток карта попала в шляпу только 15 раз. Игроком была выдвинута гипотеза Но: =0,45, ей противостоят две альтернативные гипотезы Н1: >0,45( ); H2: 0,45. Проверьте выполнение данных гипотез на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 13

Три игрока играют в «наперстки» (3 наперстка и 1 шарик). В каждом раунде они по очереди угадывают под каким наперстком шарик. Событие А –шарик найден. Р(А)= . За 120 игр игроки 40 раз нашли шарик. Предположим, что СВ Х – число найденных шариков подчиняется биномиальному закону. Тогда необходимо проверить гипотезу Но: =0,4, которой противостоят две альтернативные гипотезы Н1: <0,4 ( ); H2: 0,4 на уровне значимости  (задайте сами).

Задача 14

Студент живет в съемной комнате и каждый месяц платит ренту 6000р. В период кризиса происходит рост цен, поэтому он предположил, что в следующем месяце цена изменится (увеличится до 9000), в том время, как ему необходимо потратить отложенные деньги на покупку ноутбука (студент не работает, и других источников дохода кроме родителей у него нет). Он знает, по крайней мере, 5 квартир, где плата на съемную комнату в среднем стала 9500р. α=0,1, с.к.о. σ=0,09. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Постройте критическую область.

[Ответ: (9000,052; ]

Задача 15

В некотором отделе компании работает группа специалистов. В период финансового кризиса в этом месяце уволили 1 сотрудника (осталось 10), и внутри отдела появилась паника. Сотрудник 1 полагает с вероятностью 0,4, что в следующем месяце будет уволено не менее 4-х сотрудников, а сотрудник 2 полагает с вероятностью 0,5, что будет уволено не более 3-х.

Х – число уволенных сотрудников; - утверждение 1; -утверждение 2. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Найдите вероятности ошибок первого и второго рода.

Задача 16

Студенты на паре пишут контрольный тест из 5 заданий. Студент 1, который раньше написал тест, передал вариант с ответами (к тесту) другому, убедив последнего в том, что вероятность ошибки каждой задачи составляет 10% и зачет обеспечен. Студент 2, пользуясь ответами, предположил, что вероятность ошибки больше, а именно 20% и зачета не будет, поэтому в случае, если он окажется прав – они договорились, что студент 1 напишет товарищу реферат. Для получения зачета необходимо решить не менее 3-х задач. Сформулируйте эту задачу в терминах теории проверки статистических гипотез. Каковы проверяемая и альтернативная гипотезы? Найдите вероятности ошибок 1-го и 2-го рода.

[Ответ:

Х-число правильно решенных задач;

- утверждение 1(зачет есть) ;

-утверждение 2(зачета нет) ;

Задача 17

Девушка-студентка решила заказать стиральную машину через Интернет. На сайте одной фирмы она выбрала модель стоимостью 11000р. Подруга девушки полагает, что на сайте указана не точная цена - на самом деле она выше, т.к. средняя стоимость стиральной машины этой модели по городу (было проверено 5 магазинов) = 12200р. Х – стоимость стиральной машины (распределена нормально). α=0,05, выборочное с.к.о. S=0,06. Сформулируйте задачу в терминах проверяемой и альтернативной гипотезы. Найдите вероятности ошибок 1 и 2 рода.