6.3 Теорема Ролля

Теорема Ролля (о нулях производной) Если непрерывна на отрезке , принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале , то существует точка , в которой .

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка , в которой касательная к графику функции параллельна оси Ох.

6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.

Теорема Лагранжа Если непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что .

Доказательство. Введем функцию

.

.

удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Значит,

, т.е. .■

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: , в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей точки и .

Пример Доказать, что .

Решение. Пусть . Применим теорему Лагранжа к этой функции на отрезке . Получим, что для некоторой точки выполняется .

Аналогично доказывается, что .

Следствия 1) Если функция дифференцируема на интервале и , то на .

2) Если на , то не убывает на .

Если на , то не возрастает на .

3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на , т.е. .

Теорема (обобщенная формула Коши конечных приращений) Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем ,

то .

7 Формула Тейлора

О. Пусть имеет в точке производные до k-го порядка, тогда многочлен

называется многочленом Тейлора п-го порядка для функции в точке .

Теорема 1 Пусть , такое, что имеет в -окрестности точки производные до -го порядка включительно. Тогда , такая, что

.

Функцию называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема 2 Если существует , то

при .

Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Равенство при называют формулой Маклорена.

Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций

с остаточным членом в форме Пеано (т.е. )

, где

8 Правило Лопиталя

Теорема 1 Пусть и дифференцируемы на интервале , , , и существует конечный или бесконечный . Тогда тоже существует и равен А, т.е. .

Доказательство. Пусть . Доопределим и в точке а, полагая и . Тогда получим, что и непрерывны на отрезке . По обобщенной формуле Коши конечных приращений, такая, что

.

Если , то . Значит, .

Тогда .■

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при , и при , и при .

Теорема 2 Пусть 1) и дифференцируемы при , причем при ;

2) , ;

3) существует конечный .

Тогда существует .

Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида и . Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности .