Глава IV.

ПРОСТЕЙШЕЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Рассмотрим теперь простейшие приёмы интегрирования в среде MathCAD, а вместе с этим и приложения определенных интегралов, которые лично для меня, как физика особенно интересны.

В от простейший пример (2.15) интегрирования в среде MathCAD. Для его расчёта используем (т.к. интеграл определённый) оператор «определённый интеграл» из уже знакомой панели CALCULUS:

В появившемся на рабочем листе символе: заполним метки. В метку, обведённую овалом вводим подынтегральное выражение, в метки, обведённые прямоугольником вводим пределы интегрирования, а за символом d должен стоять дифференциал, т.е., в данном случае х.

Если вы хотите получить символьный результат (т.е. не в виде числа в десятичной форме, а в виде ln, экспонент, sin, и т.д.) нужно «зацепить» меткой всё выражение, нажать CTRL+ю и ENTER. В результате получиться следующее выражение: . Чтобы получить ответ в виде числа достаточно нажать равно на клавиатуре после символьного выражения. Т.е. _.

Следующий пример (4.15) выполняется аналогично: Внимание следует обратить лишь на вставку функции asin(x) ( подробно на примерах 11.15 12.15 в главе I). Здесь мы также получили символьный результат - 4/3, переведём теперь его в десятичную дробь: . Можно было получить этот результат сразу, вводя = сразу после интеграла (а не ставить -->)

В примере 5.15 следует вместо оператора определённого интеграла использовать оператор неопределенного интеграла:

Остальные же действия выполняются аналогично, поэтому далее я привожу сразу ответ: .

В примере 7.15 обратить внимание следует на правильность расставления скобок, а в остальном он не должен вызвать затруднений: .

Ответ на следующий пример 8.15 _.

Если вы во время вычисления следующего примера 9.15 используете символьный вывод результатов (), то ничего хорошего из этого не получиться. MathCAD выведет в качестве ответа что-то большое и страшное. Я здесь даже не буду приводить ответ на этот пример в символьном виде. Хотя, если вы задумаете просчитать этот пример вручную (с помощью универсальной тригонометрической подстановки), то вы получите вполне нормальный ответ. Всё дело как раз и состоит в том, что MathCAD не знает подстановок – программа пытается всегда всё разложить в ряд. Это и приводит к такому результату. В чиленном же виде всё получается довольно просто: .

Примеры 11.15 и 12.15 вычисляются стандартным способом: (11.15)

(12.15)

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.

В этом подпункте, специально мною выделенном, мы поговорим о некоторых прикладных задачах, решающихся с помощью определённого интеграла (вычисление площадей, длин дуг кривых и т.д.)

Определённыq интеграл (геометрическое истолкование) – это площадь, ограниченная графиком функции, соответствующей осью (не обязательно Ох – может быть уравнение в виде х=у²) и пределами интегрирования.

П усть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линией х= _{, у=0 и графиком функции у= . Для наглядности построим график этой функции и линий, которые её ограничивают (см. Главу III):}

Искомая площадь фигуры есть площадь треугольника, обведённого овалом. По существу здесь мы должны проинтегрировать функцию у= в пределах от 0 до ( где _{- абсцисса точки пересечения графика функции и прямой): .}

В примере 15.15 кривая задана в параметрической форме: _; . – эта кривая называется циклоида. Её ограничивает линия у=6 и по условию у≥6, а 0<x<12π (х, но не t!!!). Для того чтобы построить график параметрически заданной функции необходимо заранее определить функцию (задать как зависит х и у от параметра t), по горизонтальной оси поставить вместо привычной метки х метку х(t), по вертикальной вместо у(х) y(t). Затем на вертикальной оси ставим запятую (подробно см. гл.III о просмотре графиков нескольких функций на одном поле) и вводим число 6 (т.к. по условию у=6 – ограничивающая линия). В результате этих действий должно получиться следующее:

Ищем площадь, выделенную на рисунке эллипсом (из площади циклоиды вычитаем площадь прямоугольника). Но для начала определим пределы интегрирования, для чего решим следующее уравнение: Учитывая период функции cos (т.к. MathCAD выдаёт только главный корень), найдём, что t= ; _.

ПРИМЕЧАНИЕ Вообще-то период cos _, но как мог бы заметить внимательный читатель, следующий корень отличается от предыдущего не на , а на , это связано с тем, что решая уравнение вида cos a=0 следует помнить, что следующий корень будет отличаться от предыдущего на , а не на 2π – частный случай тригонометрического уравнения, вообще-то, решая такие частные случаи, для наглядности рисуют единичную окружность, где х-ось cos, у-ось sin, и смотрят, когда повториться тот или иной корень)

Н айдём площадь по формуле: S= .: . (я полагаю, что мы определили заранее все функции). Это мы нашли площадь, ограниченную осью Ох, циклоидой и вертикальными линиями х=х(t₁) и х=х(t₂). Вычитаем из неё площадь прямоугольника и получаем искомую площадь: .

ВНИМАНИЕ В выражении, обведенном овалом я нашёл площадь этого самого прямоугольника, ограниченного линиями у=6, х=х(t₁) и х=х(t₂). Всего лишь длину (у=6) умножил на ширину: . Нужно помнить, что вычитать надо не параметры t₂ - t₁ , а значение функции х от этих параметров!!!

Поработаем теперь с полярными координатами (16.15). Здесь нужно найти площадь, ограниченную следующими функциями, заданными в полярных координатах: .

Для начала построим их графики:

1

Предел изменения радиуса

. Выбираем из панели Graph оператор построения полярного графика: В появившемся на рабочем лисе окна построения полярного график а начинаем заполнять метки: В метку, обведённую прямоугольником заносим аргумент функции, т.е. - два раза (ставя запятую) так как у нас две функции, в обведённую овалом сами функции через запятую (я заранее определять их я не стал). Далее по аналогии с полярным графиком щёлкаем два раза в окне, где построен график и выбираем в меню форматирования графиков пункт пересечение. В этом примере я рекомендую увеличить предел изменения радиуса до 2, 5 (указан стрелкой на рисунке). В результате выполнения этих действий должно получиться примерно следующее:

Искомая площадь заштрихована на рисунке.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА В полярных координатах S= .

Как видно из рисунка (это можно легко доказать и с помощью математики: поу словию мы считаем радиус r всегда положительным, т.е. и _. Значит, решая тригонометрическое уравнение и, находя так называемое главное решение, имеем: _.) пределы интегрирования есть и . Искомая площадь получается вычитанием из большой окружности маленькой, т.е. S= .

В задании 17.15 нужно вычислить длину дуги, заданной в декартовом ортонормированном базисе.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА L_{в декарт. коорд.}= .

Действуем стандартным методом:

1. Определяем функцию , где по условию_. Здесь даже нет необходимости строить график – пример только лишь на применение формулы.

2. Вводим соответствующую формулу:

3. Нажимаем CTRL+, ввод и получаем ответ: . Для удобства я посчитал его в численной форме.

ПРИМЕЧАНИЕ У меня почему-то в этом примере, когда я после определения функции, стал считать отдельно символьно y’, программа в качестве ответа писала следующее: . Наверное, это связано с тем. что она брала какие-то данные из других номеров (я делал их все в одном файле), в то время, как создав новый документ. Расчёт был произведён правильно.

В примере 18.15 необходимо вычислить длину дуги L, но функции заданы уже в параметрической форме.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА L_{пар. ф.}= .

Определяем зависимость у и х от t, т.е функции _{, .} По условию - это и будут наши пределы интегрирования. Далее вводим соответствующую формулу, нажимаем  и получаем символьный результат: _{. Опять же, считаю, что нет необходимости строить график – пример только на применение формулы.}

Разберём последний пример в этой главе – 19.15. Здесь мы имеем дело с функцией, заданной в полярных координатах: .

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА L_{пол. к.}= .

По условию имеем, что . Для наглядности привожу график этой функции:

Синим и зелёным пунктиром построены пунктиром построены графики прямых соответственно φ= и φ=0, являющихся, по-существу, пределами интегрирования. Сама кривая называется кардиоида.

Осталось ввести формулу и получить результат: .

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным. Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Интегрирование, дифференцирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе, что очень удобно

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести -°° (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD. Конечно, символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций. Но далее мы углубляться не будем. Ибо это уже не простейшие вычисления.