§4. Свойства степенных рядов

Пусть дан степенной ряд (1), – интервал сходимости этого ряда.

Теорема 1. Ряды, полученные из данного степенного ряда почленным его дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.

Теорема 2. Пусть r – произвольное положительное число, меньшее чем R. Тогда данный степенной ряд (1) является равномерно сходящимся на сегменте .

Теорема 3. Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости.

На основании теорем 1 и 2 можно доказать следующие теоремы.

Теорема 4. Степенной ряд (1) можно почленно дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.

Теорема 5. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости.

,

где и – точки, принадлежащие интервалу сходимости.

Пример. Найти сумму ряда

Решение. Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по формуле , где и ; получим

.

Проинтегрировав затем в пределах от 0 до , находим

.

Этот ряд сходится в промежутке . ●

Свойства степенных рядов справедливы и для рядов вида (2).

Глава 3. Ряды фурье

§1. Ряды и коэффициенты Фурье

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движение поршня в двигателях, распространение электромагнитных колебаний и т.п. Периодические процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена.

Тригонометрические ряды были введены Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны.

Формулы, выражающие коэффициенты ряда через данную функцию, были даны французским математиком Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (в работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Фурье систематически пользовался тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности.

Итак, простейший периодический процесс – гармоническое колебание – описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида и .

Рассмотрим функциональный ряд вида

(1)

Такой ряд называется тригонометрическим рядом.

Так как члены тригонометрического ряда (1) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .

Если периодическая функция является суммой равномерно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (1), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера-Фурье.

Определение. Тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье, соответствующим функции .

Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента . Если – сумма этого ряда, то во всех точках непрерывности этой функции

= ,

а во всех точках разрыва

. (2)

Кроме того,

. (3)

Условия этой теоремы часто называются условиями Дирихле.

IIример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную на интервале уравнением .

Решение. Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки и . На рисунке изображен график функции , где – сумма ряда Фурье функции .

Эта сумма является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией на отрезке , так как данная функция удовлетворяет условиям Дирихле. На отрезке у нее всего две точки разрыва I рода на концах промежутка в точках и . Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

.

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,

.

Далее, находим коэффициенты . Имеем

.

Первый интеграл равен нулю (см. формулу (1) из §1).

Интегрируя по частям, получим:

, т.е.

Итак, , т.е. .

Найдем теперь коэффициенты :

.

Первый интеграл равен нулю.

Интегрируя по частям, получим:

, т.е.

.

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид

.●