Аппроксимация ачх фильтров - общие замечания.

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:

(3.7)

где - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется, потому что его частота среза Основными способами аппроксимации являются:

• Аппроксимация по Баттерворту, при которой

• Аппроксимация по Чебышеву: , - многочлен Чебышева -го порядка.

• Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева): .

• Аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация): , - эллиптическая дробно-рациональная функция.

Для того чтобы АЧХ фильтра разместилась в заданном коридоре необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

(3.8)

Очевидно, что первое условие будет выполнено, если

(3.9)

Чтобы выполнилось второе условие, необходимо чтобы порядок фильтра обеспечивал переходную полосу заданной ширины и с заданным подавлением, т.е.

(3.10)

Откуда можно выразить:

(3.11)

Таким образом, мы получили уравнение (3.6), решая которое относительно можно рассчитать требуемый порядок фильтра, при котором АЧХ фильтра разместится в заданном коридоре. При этом рассчитанное округляется в большую сторону до ближайшего целого.

Рассмотрим подробнее аппроксимацию АЧХ нормированного ФНЧ.

Аппроксимация по Баттерворту.

Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:

(3.12)

Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет дБ/декада.

При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр , и на частоте рад/с (-3 дБ). Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Баттерворта запишется в виде:

(3.13)

; ,

где , может принимать значения 0 или 1.

Аппроксимация по Чебышеву первого рода.

В случае аппроксимации по Чебышеву, функция , где - многочлен Чебышева порядка . Тогда квадрат модуля частотной характеристики при аппроксимации по Чебышеву можно записать:

(3.14)

Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (3.4).

В полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта, при этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода выше чем у фильтра Баттерворта.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ в виде:

, (3.15)

; ;

; ;

, ,

,

где , может принимать значения 0 или 1.

Аппроксимация по Чебышеву второго рода.

Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:

(3.16)

Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (3.4). Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. дБ. Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ запишется в виде:

(3.17)

;

; ;

где , , может принимать значения 0 или 1.