2.7.3. Переведення змішаних дробових десяткових чисел у
мінус-двійкову систему числення
Переведення змішаних дробових десяткових чисел в мінус-двійкову систему числення можна виконати шляхом переведення цілої і дробової частин окремо з наступним їх об’єднанням. При об’єднанні слід врахувати наступне:
Якщо дробова частина задовольняє нерівності , то до цілої частини потрібно додати 1, після чого перевести одержане ціле число і дробову частину заданого числа. Далі об’єднуємо, одержані в результаті переведення, ціле число і дробове число без його цілої частини (без 1).
Якщо дробова частина задовольняє нерівності , то від цілої частини потрібно відняти 1, після чого перевести одержане ціле число і дробову частину заданого числа. Далі об’єднуємо, одержані в результаті переведення, ціле число і дробове число без його цілої частини (без 11).
Якщо дробова частина задовольняє подвійну нерівність
,
то спочатку потрібно перевести цілу і
дробову частини заданого числа, після
чого, одержані в результаті переведення
числа об’єднати.
Програму переведення змішаних десяткових чисел, реалізовану в пакеті Mathcad, наведено на лістингу 15. На продовженні лістингу 15 наведено типові приклади.
2.8. Переведення двійкових чисел у мінус-двійкову систему
числення
Нехай
маємо десяткове число Х,
яке потрібно перевести в мінус-двійкову
систему числення. У цьому випадку можна
застосувати метод переведення, який
базується на використанні властивості
чергування знаків ваг сусідніх розрядів
у такій системі і полягає в наступному.
Спочатку число Х
із системи числення з основою
,
за відомими правилами, переводять у
число Y
канонічної
двійкової системи, тобто в систему з
основою
.
Потім отримане число
розділяють на два числа А
і В,
причому спосіб такого розділення
залежить від знака вихідного числа.
2.8.1. Переведення додатних двійкових чисел у мінус-двійкову
систему числення
Нехай маємо число Y , задане в канонічній двійковій системі числення. Тоді його можна подати у вигляді многочлена
. (2.12)
Перейдемо
від числа
до
числа
,
заданого в мінус-двійковій системі
числення, замінивши степені двійки з
парними і непарними степенями за
формулами:
,
;
Підставивши одержані вирази в формулу (2.12), дістанемо многочлен
,
(2.13)
який, після впорядкування за степенями основи числення, набуде вигляду
(2.14)
Іншого
вигляду виразу (2.13) можна надати, якщо
його розділити на дві складові: з парними
і непарними індексами двійкових цифр
:
(2.15)
Виходячи з подання числа у вигляді (2.15) можна сформулювати наступне правило розділення числа (2.12) на складові А і В.
Якщо
вихідне число
додатне, то розряди числа А
з парним
номером
(у тому числі і з
)
дорівнюють розрядам числа
з таким самим
,
а розряди числа А
з непарним
– дорівнюють нулю. Розряди числа В
з парним номером
дорівнюють
нулю, а в розрядах з непарним
кожна, не рівна нулю цифра, замінюється
одиницею в
-му
і
-му
розрядах. Після цього необхідно виконати
підсумовування чисел А
і
В
з урахуванням знаків ваг окремих
розрядів.
Правила додавання чисел А і В за основою пояснюються випадками, наведеними в табл. 2.4.
Таблиця 2.4
Випадок 1. Якщо у відповідних стовпцях складових А і В є нулі або одиниця і нуль чи нуль і одиниця, то відбувається звичайне додавання.
Випадок
2.
Якщо у двох сусідніх стовпцях складових
А і В є вказані комбінації, то у відповідних
розрядах Z
записуються нулі. Це пояснюється
наступним чином. Нехай вказані комбінації
знаходяться в розрядах з номерами
і
або
і
.
Тоді:
;
.
Випадок 3. Якщо у двох крайніх справа стовпцях складових А і В є вказані комбінації, а на місці символу «•» значення нуль або одиниця, то у відповідних розрядах Z записується комбінація 10, а крайня зліва одиниця (в таблиці вона виділена) є одиницею переносу в старший розряд. Це легко показати наступним чином:
,
.
Випадок 4. Якщо у двох крайніх зліва стовпцях складових А і В є вказані комбінації, то у відповідних розрядах Z записується комбінація 110. Це є окремий випадок випадку 3.