3.5.4. Модель управления обучением

В качестве примера конкретной модели процесса управления рассмотрим модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений [12].

Любое знание состоит частично из «информации» («чистое знание») и частично из «умения» («знаю как»). Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, в конечном счете, умение – это способность методически работать [13, с.308].

Пусть x(t) – объем сведений, накопленных учащимся к моменту времени t («чистое знание»), y(t) – объем накопленных умений: умений рассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале; u(t) – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени (t; t+dt).

Естественно считать, что увеличение x(t+dt) – x(t) объема знаний учащегося пропорционально потраченному на это времени u(t)dt и накопленным умениям y(t). Следовательно,

, (1)

где коэффициент k₁ > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося.

Увеличение знаний за то же время пропорционально потраченному на это времени (1 - u(t))dt, имеющимся умениям y(t) и знаниям x(t). Следовательно,

. (2)

Коэффициент k₂ > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (1) – (2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной.

Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом t значение функции u(t) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.

1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний x₁ и умений y₁? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости (x₀; y₀) в точку (x₁; y₁)?

2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т.е. выйти на прямую x = x₁?

Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для второй задачи и двойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле [14]).

С помощью замены переменных z = k₂x, w = k₁k₂y перейдем от системы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:

. (3)

(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу к другим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося.)

Решения задач 1 и 2, т.е. наилучший вид управления u(t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина [15]. В задаче 1 для системы (3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным (u = 1) и вертикальным (u = 0) прямым, либо по особому решению - параболе w = z² (u = 1/3). При движение начинается по вертикальной прямой, при - по горизонтальной, при - по параболе. По каждой из областей {z² > w} и {z² < w} проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.

Используя теорему о регулярном синтезе [15, с.266], можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на «магистраль» - добраться до параболы w = z² по вертикальной (u = 0) или горизонтальной (u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали (u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае оптимальная траектория такова. Сначала надо выйти на магистраль – добраться по вертикальной (u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали (u = 1/3) от точки до точки . Наконец, по горизонтали (u = 1) выйти в конечную точку.

В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих из начальной точки (z₀; w₀) в точки луча (z₁; w₁), w₀ < w₁ < +∞, выбирается траектория, требующая минимального времени. При z₁ < 2z₀ оптимально w₁ = z₀ (z₁ – z₀), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z₁ > 2z₀ оптимально , траектория проходит по магистрали w = z² от точки до точки . Чем большим объемом знаний z₁ надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний.

Полученное для основного участка траектории оптимального обучения значение u = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах).

При движении по магистрали, т.е. в течение основного периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов k₁ и k₂. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения (x₀; y₀) и индивидуальных коэффициентов k₁ и k₂.

Таким образом, модель процесса управления обучением (1) – (2) позволила получить ряд практически полезных рекомендаций, в том числе выраженных в числовой форме. При этом не понадобилось уточнять способы измерения объемов знаний и умений, имеющихся у учащегося. Достаточно было согласиться с тем, что эти величины удовлетворяют качественным соотношениям, приводящим к уравнениям (1) и (2).

Многочисленные модели процессов управления описаны в литературе [4, 5, 7,10, 11, 16]. Их практическим использованием обычно занимаются информационно-аналитические подразделения, службы контроллинга, качества и надежности, маркетинга и др.